渐开线齿轮啮合方程推导

shouce

设一对中心距为110的齿轮 齿数比为6：5  则大齿轮的参数方程为：x=60*(cos(t)+t*sin(t)) y=60*(sin(t)-t*cos(t))   根据啮合原理 利用matlab编程   
> syms t q
; C* k# Z" K; q# q4 A! X" @" R>> x=60*(cos(t)+t*sin(t))2 H& R$ O) c* V) `8 A0 `
$ f- i7 O# ]! W% `0 ?6 P% X, d" a- \
5 Z1 N  S% F8 l! v$ mx =

( p+ V0 ~# U. B' w: Z; K& L( \! O' v60*cos(t) + 60*t*sin(t)! a" e8 H( F% n
/ C3 z- [+ A, _( T2 s3 }% b6 ~7 w
>> y=60*(sin(t)-t*cos(t))

y =
7 r1 a' t# V. {( H7 M
& f2 `5 ?2 V& X; n; u* w60*sin(t) - 60*t*cos(t)
' A5 J0 \9 z" B  C6 p6 Z) A
>> x1=-x*cos(11/6*q)-y*sin(11/6*q)+110*cos(q)
% s' G3 P( m/ W! `# C! s% m0 p- v: `2 U( |) p5 a
x1 =% u, w- Q! A" I) D, G" ~. X
& @0 M- @3 K3 @# W! \, [
110*cos(q) - cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)) - sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t))
8 x5 \1 G; ^- a# Q- a% y2 e# a$ `# C' W* I* o" i: E. Y; J! a. T6 o: x
>> y1=-x*sin(11/6*q)+y*cos(11/6*q)+110*sin(q)- G3 q* t" b0 A( q1 s7 Z
9 y1 o2 U+ O4 d! C+ [) ?" t
$ R& {' h  D7 l3 Sy1 =

110*sin(q) + cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)) - sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t))
: Z9 [! R1 G; M2 u3 M
6 H( U' K' u: y2 O' }0 X' k* {4 i>> diff(x1,t)
5 B6 U" M3 ], L8 v+ _( Z2 ^2 ^$ T+ [! {
1 J5 A, b+ `9 Pans =
% ^; B0 H- M& l" R3 S% O8 d6 X
( }, Y0 U/ b/ A3 H# S- 60*t*cos((11*q)/6)*cos(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*sin(t)" v9 m# E+ O* ?: k6 f7 P: Z
" V+ y6 _  T! D& H6 i+ k/ I' U
; S4 G% a" ~/ X* J, k: o  ?- g* x>> diff(y1,t)+ N! `! Q( i3 @% n9 o- D

ans =7 W6 `+ M2 x- F( R" s
; B1 Z9 M" u% p! a' A* o
7 Q$ ?2 C8 \6 k60*t*cos((11*q)/6)*sin(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*cos(t)
. B4 Q, u. ~4 V, ]: `8 U, U* l4 I; k. W: Q! ~
- c2 R! ]4 S6 r) T9 i, N>> diff(x1,q)
# Y  Z' B4 A: U- L$ L# X% o/ c$ e1 Y2 m4 n2 ]
# c) O! K7 U; a9 B- w# o; z/ S# U* Xans =

! B) e4 S- o4 L) q8 p(11*sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6 - 110*sin(q)
- s; Z) {+ G4 K$ ]4 R9 a' I( [' \
. [# }: z1 F: M; ~+ n>> diff(y1,q)3 J5 s6 T9 l" G$ S! f! T; j9 e
) E3 S- v3 ?0 w$ L" a1 ~6 t" V6 ^- K  A+ Q
4 J, C$ {( W! [5 w9 oans =
7 Y8 A+ G8 N+ v5 v$ s* a
: }2 G+ O% }/ b; I6 T110*cos(q) - (11*cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6
& K6 E/ r2 D3 h2 P9 z/ A' ]3 l  K6 \
>> f1=sym('(110*cos(q) - (11*cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6)*(- 60*t*cos((11*q)/6)*cos(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*sin(t))-((11*sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - (11*cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6 - 110*sin(q))*(60*t*cos((11*q)/6)*sin(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*cos(t))')

f1 =
1 o6 c" \) D/ z( H1 r; b- q3 f2 l# Z6 L
1 u6 q* `  Y& Q8 @(60*t*cos((11*q)/6)*cos(t) + 60*t*sin((11*q)/6)*sin(t))*((11*cos((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6 - 110*cos(q) + (11*sin((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6) + (60*t*cos((11*q)/6)*sin(t) - 60*t*sin((11*q)/6)*cos(t))*(110*sin(q) + (11*cos((11*q)/6)*(60*sin(t) - 60*t*cos(t)))/6 - (11*sin((11*q)/6)*(60*cos(t) + 60*t*sin(t)))/6)
" h$ A* D0 w" S
3 K' q  B4 n* N6 ]' m* H>> simplify(f1)) [  m8 o  C& N  b2 a/ @
. \  s* \; |# r# u; t8 w4 K" s$ C8 a; ^, `7 Z* u' N' D
ans =4 i' A% H% c% V; u# N# ~4 ?

-6600*t*(cos((5*q)/6 - t) - 1)
) _' H$ _# V4 z- s% U/ H8 {( y, X% H2 f# H. B& U5 o) O
-6600*t*(cos((5*q)/6 - t) - 1)=0     解得q=6/5*t   代入   x1=-x*cos(11/6*q)-y*sin(11/6*q)+110*cos(q)      * q1 K: y3 z1 G3 m4 N- }% z2 A+ J
  y1=-x*sin(11/6*q)+y*cos(11/6*q)+110*sin(q)  
' c6 w6 o, V4 K化简后得X1=50*(cos(1.2*t)+1.2*t*sin(1.2*t))    y=50*(sin(1.2*t)-1.2*t*cos(1.2*t))
从方程上可以看出小齿轮的方程仍为渐开线

米fans

不错。

shouce

我写这个  主要是推导   渐开线齿轮啮合的齿曲线同样为渐开线

明月山河

这是微分几何中的包络线公式吗？这么多括号怎么看，符号运算还是用maple吧。
$ i. V- Q+ Q0 g1 g% nmatlab也是用的maple的内核。

shouce

  行家         还是matlab 通用呀