啊。。。这个都成月经问题了，各个论坛上都会吵一遍/几遍。。我也吵过几次，淡定了一些，既然坛子里的兄弟们感兴趣我也就说说我的看法。0 a. @8 P; B u. d9 J' r% |+ j
有人说这个题是能看出人学没学过高数的分水岭，其实不然。这其实只关于对于极限思想的理解而已。。
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/ j2 C3 e# z$ S. q2 g9 C3 {) I1 U其实0.999...999是严格=1的。
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5 S- v3 M! q# s+ M一个简单的证明：! y7 Z- l$ ]3 u7 \
" n7 w0 b! G8 H【定理】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。
" c7 S b3 t$ Y" `8 T; ?! M* X/ [ m/ t" X. B* {, O
先证定理：a和b两有理数，如果a!=b,那么一定存在n个c,c=m*(b-a)/n+a, m定义域（0，n)
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显而易见吧？意思就是它们之间的小区间可以无限再分，从而构成无穷多新的有理数。
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回到题目：0.999...999和1是不是不同？7 r1 j3 n/ A7 U4 y
# F0 p, k( z- N3 ^反证法，假设不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2/ i/ C) E/ G) J* R9 d7 Z
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这个数是什么呢？那一定是有一个小数，比0.999...999拥有更多的9. 那是不是表示，这个新的数就应该是你之前的那个数？
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所以说明了什么？要么存在一个新数取代了原来的数，要么两数相等。如果新数取代了原来的数，证明你的9还不够多。/ [3 P M0 ~0 e: G( w" u
6 i. D2 o+ `, k, J* P- _& i所以，0.999...999和1只能相等，证毕! e4 r) R6 k/ r5 B1 } V7 N
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+ R8 l3 |: v/ ^# @3 v2 Z: z5 X更简单的证明方式也有, 坛子里不少大侠也说过了：- |0 t" z* f* X5 Z
1/3=0.33..33， 这个居然还有人质疑？小数（或者说根本不存在小数）和分数是一一对应的，或者说根本就是相等的，这个也不需要质疑的好吧？后面就不证了，有想杠一下的再说。
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( f) m4 N2 k& j# _再细说一下第三种。% {+ o: c- l a2 I5 `: s
0.999...999*10=9.999...999+ y# h5 Y" Z; [9 M, @! L% J4 W% |0 q
这个式子成不成立？显然成立。但是是不是有一种右边小数点少一个9的感觉？为什么？. e6 S, R/ B/ i; V/ {$ _
伽利略悖论有一句话：正偶数和自然数一样多。2 p9 q/ `6 J5 x4 w
解读过来，在无穷的层面上，每一个自然数都和他的2倍一一对应，有n个自然数，就有n个正偶数。* V% `' Y: O/ M$ p7 w3 W$ {
（多提一句：上例可以一一对应，但涉及无理数和实数则不行，实数对于有理数属于高阶包含，不存在映射关系了）& `( U9 ] d2 [0 {" l5 w4 }
同理，每一个左边的9，都与右边的等位的9(其实是前一个)一一对应，相当于编程里的n=n+1,没问题吧？' _0 g( X" x$ T$ ^5 ~) [
因为是循环小数，数位后是n位，在无限的概念下，n和n+1没有区别。这一点可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖论，就很好懂了。+ r4 Q1 e$ c _6 t3 j/ f! w
- ~8 T6 x' g/ C' G. I" B另外说什么无限小数不能计算的，纯属扯淡。无限小数是位数不限，不是大小不限。再无限的小数，他的值也是有限的，不能混淆他和无穷大之间的区别。4 G) ?2 C n) c. u3 v. ]
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大家都是工程师，感觉理解能力和接受能力应该高于各门户网站的网友群体吧。有问题或者不同意见，欢迎交流。
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楼主: 冷水黄金
发表于 2021-5-20 16:38:35
这个厉害的
