弹性力学中的一个问题

不懂的太多xx

这两天重温弹性力学，又把之前没解决的问题给想起来了，连着三四天自己没法给出解释，陷进黑洞自己出不来了，睡觉都不香了，现在求大侠抽醒。
极坐标下的应变问题，
图中的这个环向的应变，大侠们肯定都知道。现在就是前面"v/r”这部分应变问题。照本宣科，照书的方式理解没有问题。
但就我自己想，想出问题来了。位移函数v是r和θ的函数，a点的环向位移v（a）=v(r,θ)，d点的环向位移v（d）=v（r，θ+dθ），dv按第二个图。
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这建立在位移函数的r和θ的两个变量是没有变形前的坐标，在没有变形前a的坐标就是(r,θ)，d点的坐标就是（r，θ+dθ），两点的变化只有dθ的变化。

难道是我认识出错误了，位移函数是变形后的坐标？既如此，dv应该是第三个图。

也是没有v/r项。
& |. V0 g. r- S, s
照书中理解，这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）俩点引起的弧长差，这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标，一个是变形后的圆盘d点的坐标。
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矛盾点是，单从函数v(r,θ)上说，无论r和θ表示的是变形前圆盘定的坐标，还是变形后圆盘定的坐标，dv都没有v/r，除非一个是变形后的坐标一个是变形前的坐标。求大侠把我从牛角尖里拉出来。


4 R3 B; T( l) n8 F补充内容 (2016-5-24 09:00):
发帖，错把u/r打成v/r。
, e  q1 j4 U( {3 `  ^0 ^. o
0 b2 R8 n1 i3 s5 ?8 X补充内容 (2016-5-27 12:31):
2 L: o& D) U9 H3 R2 u- D, Q4 k纠结已经解决

云制造

照书中理解，这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）俩点引起的弧长差，这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标，一个是变形后的圆盘d点的坐标。

$ u7 R8 F5 H7 ]6 ^你这个就理解错误了，没弄懂书中意思。环向位移是v(r,θ)和v(r,θ＋dθ)两点变形后的弧长差。
0 S0 _) v' G0 v  L3 z0 e) ]& B
% E% t1 D9 D8 A2 q" ?7 s/ `* o位移函数是变形后的坐标？这个你也理解错了，位移函数描述的是变形的大小，跟变形后的坐标没有关系，要有关系也是一个点变形后的坐标是原始坐标加上位移函数的值

云制造

两点的长度变化是dv，原始长度是rdθ，所以只有环向位移引起的应变为dv/rdθ，不知道楼主纠结的v/r，在哪里出现？

云制造

如果是图上的v/r，这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

云制造

v/r只是表示每一个点的角度位移，就是说，每个点移动了多少度。v=2πr，说明一个点旋转了一周，楼主说过的 v/r”这部分应变问题，理解就错了，这不是应变。跟径向应变一样，要求的是两点变形前后的长度差，而不是一个点的位移，如果两个点同时位移为du，应变就是0。不要将位移和应变混为一谈。比如刚体位移，就没有应变。

云制造

云制造 发表于 2016-5-24 08:46
5 I* c$ Q) F) J# s如果是图上的v/r，这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

1 ]1 I; A+ b1 au/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点之间的弧长，不就是（r+u）dθ，而原来两点之间的弧长是rdθ，所以应变是两者之间的差值再除以rdθ，就是u/r

云制造

楼主要用物理场景来理解，有物理场景，能更好的理解数学推导过程。这个极坐标应变应该是很好理解的。你说的u/r。就想象是一个固定顶角（dθ）的三角形，而三角形的底边在向外移动的过程（就是u增大），是不是底边会不断拉长，应变不断增大

云制造

底边不断拉长，应变不断增大。就是切向应变不断增大。三角形的底边长就是切向的长

不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-24 09:03
$ U  a' \  D2 L5 g) S6 U+ bu/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点 ...

& w" z+ W+ P6 u; B7 l我知道按书理解可以理解，帖子中我也说明了，书中的理解方式清楚。
咱们换一个方式，环向位移V是关于r和θ的函数，r和θ是原始坐标（没有加载荷的时候）。经过平衡条件、边界条件、相容条件，我们可以把应力函数和位移函数都推导出来，关于r和θ的函数（注意，r和θ是原始坐标）。
假设环向位移函数V=v（r，θ），分别带入d点和a点的坐标，那么d点处的环向位移Vd=v（r，θ+dθ），a点处的环向位移Va=v（r，θ）。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ），应变ε=δ/rdθ
δ=Vd-Va=v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=（v对θ的偏导数）*dθ（帖子中打不出来偏导数符号，我就暂时用Χ表示该偏导数）=Χdθ
那么总应变ε=Χ/r，其中并不包括u/r。
这是建立在r和θ原始坐标，假设位移函数V情况下，从偏导数定义推出来的。
+ d3 Q$ w6 s. U( l! q  f. B! L因此，这个时候我就假设的把V看成是r和θ变形后的函数，这样推出来也不对。（帖子中的第二步）
若想包括u/r这一项，单独的从环向位移函数V的偏导数中我找不出来，我就试一下全微分，因此有了是v(r,θ)和v（r+u，θ+dθ）两点的弧长差的想法，但是这个一个是变形前的坐标参照，一个是变形后的，肯定不对。这就是我现在的矛盾点，脑子绕在这里出不来了。
8 n! _- t" u8 R1 ^- L. Y! ]  j$ a; V% r不知道大侠看懂我的矛盾点了没？
1 U$ ~9 o! ?: L0 S: ~

不懂的太多xx

云制造 发表于 2016-5-24 09:03
u/r不是很好理解吗，只有径向位移u，则两点都沿着原来不变的角度移动u，则r就变成了r+u，这个时候，两点 ...

再补充一下，我们知道一个函数V=v（r，θ），这个函数表示的是位移，现在求a点（r，θ）和d点（r，θ+dθ）两点的位移，怎么求？带进去，分别是v（r，θ）和v（r，θ+dθ）
. m# A7 J0 m. v% V那这两点的函数之差（位移之差）怎么求？v（r，θ+dθ）-v（r，θ）=Χdθ。。。。。Χ表示v对θ的偏导数
这个位移之差是什么？变形量δ。
应变ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r项。

) K" ]# T3 ^3 o# I- v0 I这是在已知函数V的情况下
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