0.999......到底应不应该等于1？

何为机械

感觉在钻牛角

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-15 09:45
2 D5 f2 }, g4 Z9 T7 K% B呵呵，zero大侠，我试着解释下。
1. 无限小数不能四则运算，不代表不能进行不等式运算。0.111......

% D1 G' H* Z8 L  L0 jP大。争论点貌似已经清晰了，只在一个四则运算的存在意义上。呵呵，这么讨论挺有意思的。
; H& Z3 h5 N1 [+ C7 J5 }" o. V2 ^) T我说下我说的思路，首先，不等式的存在没有问题，你可以说1与0.9999...的差值小于0.1,0.01,0.001等等，这些都没问题。但是就如同说无限小数四则运算一样，这种无限小的比较你也无法找到一个最终的“右位”，不是吗？因为同样找不到一个最终的“右位”，那么1和0.999...的差值又该如何定义呢？魏先生的原话提到的是“差值”，而这个值是如何得到的才是关键。如果没有四则这个前提，那么这个差值本身也没有存在的意义不是吗？
* o6 Z# k! T3 q3 J所以，我才会提到柯西，因为柯西收敛可以解释这个过程。或者说等比级数收敛也可以解释这样的一个过程。因为一个收敛的函数一定存在一个极限值。
呵呵。

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-15 15:08
P大。争论点貌似已经清晰了，只在一个四则运算的存在意义上。呵呵，这么讨论挺有意思的。
0 x. P+ t8 X8 a  D: H' A0 ~我说下我说的思 ...

. ?. R/ j$ c* E9 Y/ ?0 ]  C" j# fzero大侠：
! Q! ]4 L" c+ ~1. 不等式不需要具体的差值。比如0.2<0.2.....<0.3, 0.1<0.1....<0.2
     由上面2个不等式可以得到0<0.2....-0.1....<0.2。我不需要具体差值的定义，就能把2个无限小数的差值控制在一个范围了。
" b  R7 X) R6 ^: C' s9 t2. 实数理论确实有好几个体系，但零侠肯定知道这几个体系都是等价的。分析书上都有证明。所以“讨论一个数系，无论是原理还
    是论证方法，其引用最好出自一人”，我觉得没必要。
$ {" Z+ J- Z- ^! B, n; q+ p* c

/ u% Q4 q, O* i8 T2 T

茉莉素馨

zerowing 发表于 2014-6-15 15:08
# [0 M0 l- H' m( VP大。争论点貌似已经清晰了，只在一个四则运算的存在意义上。呵呵，这么讨论挺有意思的。
0 B& D' `: D7 c* S我说下我说的思 ...

# _  i2 S2 j  c. ]5 \) t& }几位大侠其实都是在讨论实数系的构造
记得中科大 史济怀的书里面是用无限小数构造的实数系
而rudin的书里面，使用cauchy sequence 和 cuting 来构造的
! D' A7 x) w4 V- d总之，实数这个基础还是稳固的，没什么可争论的
7 F* ~, q5 \4 A论坛里，时不时就会有人拿这个问题出来讨论一下，哈哈

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-15 20:31
zero大侠：
# Z2 L* L5 r6 o$ Y0 A9 l9 P2 c1. 不等式不需要具体的差值。比如0.2

) d8 `5 X% L* p! d3 S1.你这么写，本身要承认不等号两侧的可加减性的。你可以说我不用找到一个具体的“右位”去进位，但是却是在应用不等号两侧共加的性质，不是吗？如果这么写是成立的。那么这种性质跟是否应用不等式无关，只跟是否承认加减性有关。那么同样也可以写：
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
也就是说，这个关系中，因为承认两侧共加的成立，所以，0.666...恒等于0.333...+0.333...。当然，你仍然可以说，只是等于，而没有进行实际的四则。那么这就是我前面说的，如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。那么对于上述等式，其实质就是定理得充要推论，又缘何有无意义之说呢？岂不是成了双重标准？
; s1 Q" `% [$ j+ ]1 U0 h当然，你也可以继续强调说，两个无限循环小数因为不能找到最终的“右位”，所以用有限位的四则运算不符合无限的要求。其根本在于不能进行“右位”的起始。而同样的，在进行1与0.999...的差值比较时，实际上在引入一个“右位”，即，无论你找到多小的一个位数值，（1/10)^a, a属于正整数，都一定存在这个差值b，b<1(1/10)^a，即，b一定为这个无限小值的右位，而同时隐带的一个条件就是，这个无限小值的右位如果可以被找到，就可以依次进行四则。呵呵，没错吧。
那么这里就存在我说的要引用同一个源的理论的问题。
对于通常可证的1=0.999...，其基础是实数的阿基米德性质。也就是不存在非0无穷小，这也是魏先生在用一个精确的描述“差值”的原因，“其差值小于任何一个设定的常数小值”。换句话说，这个定义一定是在基于不存在非0无穷小的基础上，讨论一个可以被设定的有限“右位”的情况。而这个就是同张先生理论冲突的地方。张先生认定了区间套，而不肯定有限位的四则，那么也就是说在这样的一个区间套中，你不能设定一个有限“右位”。所以，二者不可能同时应用的。
7 `+ _' s. g4 C同样的，换句话说，你承认不等式及其性质。那么本身１-0.999....<0.1or0.01...这样一个不等式实际上是不满足本身定义的。
首先，不等比式四则形式的基本是比较不等号两侧的实数。那么你可以说1<a，a为一个实数。1-0.999...<a-0.9999...。这是成立的。而，对于1-0.9999...同0.1或者0.001这样的比较，本身则需要证明。不是吗？因为，你并不承认1与0.999..之间可以进行直接的四则。那么，在不等式两边去比较一个实数值同一个算式的大小是没有意义的。这就好似我不能说砖<刀。

1 ?: L# X2 q5 A, Q6 u8 \* h总之，大侠说的四则的运算意义，其实本身就是在讨论一个区间套。你定义出一个区间套，那么四则本身就要发生变化。你定义的是一个限位，那么四则本身就是另一个系统。所以，于我来说，我不能说服大侠接受可以四则的理论，而大侠所叙述的理论本身于我来说却相对矛盾。哈哈。至于数系是否等价，至少目前知道的有一些是不等的。比如P进数。因为在p进数中，可以证明....999.99999.....这样的无限小数是等于0的。哈哈。
) F- _( A/ l- Z6 M4 p5 l6 v

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 00:24
" W9 y. e" o$ J6 V! v2 d1.你这么写，本身要承认不等号两侧的可加减性的。你可以说我不用找到一个具体的“右位”去进位，但是却是 ...

, o; z, G$ K. |  |: Zzero 大侠，抱歉，你这个帖子我没怎么看懂。
/ P  U7 K" M' x) [! ]1. P进数，我没听说过，是实数理论之一么？
  _* ~3 x$ |  v3 u$ T4 B2. “承认不等号两侧的可加减性”与“找到一个具体的“右位”去进位”怎么就矛盾了？
3. 我不承认1与0.999..之间可以进行直接的四则，不代表我不能对差值的范围进行运算啊。

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-16 10:49
zero 大侠，抱歉，你这个帖子我没怎么看懂。
& u8 u  `3 x7 o+ d. r: K1. P进数，我没听说过，是实数理论之一么？
2. “承认不等 ...

' W9 P) \6 l7 c1 V! g1 a% jP大，可能说得有点绕。
3 G, R, w8 [, n0 L5 m1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也紧限于知道。呵呵。但据说这个数域在前沿学科内应用很广。
6 X$ ]2 @* y; R0 w; G- M. H2. 关于差值问题。首先，只有当你能判断相比较的两个实数的大小时，你才能判断其差值。也就是所谓在一个数轴上，你要先能判断出二者的左右关系。其次，当你能判断出左右关系后，你必须通过一个减法处理，才能得到一个“差值”。如果存在两个实数ａ，ｂ。你既不能判断其大小，又不能进行减法，那么你该如何定义和比较ａ-b这个代数式呢？这就是我在说的矛盾。
同样的，对于1-0.99....这个算式，你既不能判断其大小，又不能进行加减法，你如何得到一个其差值小于0.1,0.01这样的结果的呢？你不要说因为他一定比0.1小这种话，因为这种说法在数学推理和证明里行不通的。你可以说，1<1.1。1-0.99..<1.1-0.99..
0 p: f3 i, K' ~) \但却不能得到1-0.99..<1.1-1。对吗？对于这样一个不等式，0.99..和1的大小在你证明前，你是不能应用其大小概念的。
1 T- Q* p0 v/ n/ `' g然后说右位问题，这里还要提那句，对于阿基米德性质的完备数系，不存在非0无穷小。也就是说，lim(1/10)^n=0，而不是一个找不到右位的小数。所以，在这个前提下，魏先生的比较说法，其实在说1与0.99...的差值是一个无穷小，即0，而0是一定小于你能设定的任意小的实数的。
这里，我必须承认一点，在存在进位问题的无限小数运算中，这个所谓的右位其实是个麻烦。比如0.77...+0.33...。这种情况符合张先生所说的右位进位问题。但是实际上却不需要去找右位。因为这样的式子其实可以写成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假设可以四则）。即实际上，这种无限小数的运算也在遵循基础的整数运算时的计算规律，比如7+4=7+3+1=10+1=11。为什么要强调这个，因为虽然我们常用的是10进制计数，但实际上存在12进制，8进制，2进制等多种记数法。所以，四则运算的进位本质上都是在分解和结合处一个个的可进位数，然后再逐位写出余数这个过程中进行的。而对于无限小数，其计算实质也是如此。虽然，对于无理数来说，这样的计算变得相当困难。比如pi。而对于这类无理数，实际运算中，多数时候都是按照有限位四则运算的。因为你不能最后只写一个4pi,5pi之类的代数。实际使用中，你是一定要有所取舍的。
& V! Q+ f, M" G8 h; F
% u+ r& b% U0 a! H! Z  w

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 13:54
1 ]& o, k, P1 k2 ]P大，可能说得有点绕。
) H7 |- ^: j5 Z/ }6 w1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也 ...

zero侠，这个帖子写得很明白，谢谢！
我还没想好怎么回复你，可否让我挂下免战牌？

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 13:54
1 Y9 `" O# p8 |+ xP大，可能说得有点绕。
1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也 ...

5 Z0 [' x; X7 Pzero大侠：
1. 数量比较是不需要具体差值的，也就不存在假定最右一位的说法。比如咱俩来比身高，零侠身高1.8......，我身高1.7.....。咱俩只要站一起，社友们立马就知道谁高了，但是咱俩身高具体差值他们不知道。社友们做了数量比较不等于他们计算了1.8....-1.7.....的差值。计算差值只是比较的一个手段。
2. 证明1-0.9...=0只需要证明│ 1-0.9...│ <任意给定正数就行了，数量比较不一定非要具体差值的。
. g" b% H( |/ y% l3. 数学的证明，一步步都是有来历的，没有定义的运算不能算，但下面几个运算是可以的，因为有定义。

0.1....-0.1.....=0
    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....

$ h* h0 N9 D4 u) i* c2 j7 s. `; r4. “如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。那么对于上述等式，其实质就是定理得充要推论，又缘何有无意义之说呢？”
   你这句话，我承认“如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。”
   可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...说明了什么？只能说明2个量相等，能说明无限小数直接加是可以的？
- G- s' w. {/ \; p* S) x    比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....，你能就此得出无穷项加法里结合律是可以用的么？

( q1 J" y; i4 [4 A
  O5 I( x! x% C' U' T3 ]7 ~

少-侠

马克思教导我们 ：具体情况具体分析，我们要以辩证的目光来看问题
其实0.9999…… 与1二者是相互渗透相互转化相互影响。
在一定条件下，0.99999……可以看作1 ，在一定条件下，1又可以看作0.9999……
% ]( X9 A: z6 f8 i3 ~, S4 g2 |综上 ， 0.999999……就是1  得证