0.999......到底应不应该等于1？

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-13 22:47
第一个问题。0.333........这样的无限循环小数是否等于1/3。答案是肯定的。因为首先，循环小数的定义就是 ...

1. 实数理论里，是没有0.333....=1/3这个定义的，这个结论是计算/证明出来的。
% i+ c  x* G& |- |2. 无限小数是不能直接四则运算的，当然可以转化为分数再运算，但LZ的证明过程是直接运算的。

3 b) K. G# Y# b8 Q' c

zerowing

/ k' h/ [5 u$ d5 u! d

Pascal 发表于 2014-6-14 12:07
1. 实数理论里，是没有0.333....=1/3这个定义的，这个结论是计算/证明出来的。
8 h' I$ C# U) _& P; s2. 无限小数是不能直接四 ...

1。大侠说的这个没有定义，俺不想过多的去争。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
6 V8 S/ [! v1 Q8 @0 c* x这里有维基的网址，至少从这里的说法看，0.3333...是被定义为分数1/3的小数形式的。
2 u+ P3 e$ U6 \6 _2。对于四则运算，无论是在证明0.999...是否等于1里，还是在无限循环小数的逆反算分数里都有直接使用。俺不敢苟同大侠的这个观点。
; K& s6 X9 ?! P3。附带一问，如果无限循环小数不能直接四则运算，那么为什么无理数可以？比如pi。

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-14 12:51
1。大侠说的这个没有定义，俺不想过多的去争。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
/ n2 d% N* {% k- I这里有维 ...

1. 好吧，咱们不争论1/3的定义问题。
2. 我先回答第3问吧，π的计算，比如π+π，答案就是2π，不可能把π展开来再相加。
) g8 \8 x8 K7 p# ], S3. 无限小数怎么和10乘，2个无限小数怎么相加，都是没有定义过的运算。尽管有时候答案是对的，但运算是非法的。事实上，2 个无限小数要加要乘，从哪一位算起呢？进位怎么办？都是问题。
4. 1/9+1/9=2/9，没问题；但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行。

Pascal

截图来自华师大张奠宙先生的《现代数学与中学数学》P109

huhengjie

理论与实际是存在差距的来自: Android客户端

Pascal

LZ的论证虽然有问题，但结论本身是正确的。
怎么证明?品丰社友前面都写出来一些了。
+ ]! h7 _& i. ?截图来自克莱因《高观点下的初等数学》第一卷 P28

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-14 18:23
LZ的论证虽然有问题，但结论本身是正确的。
怎么证明?品丰社友前面都写出来一些了。
截图来自克莱因《高观 ...

* K% |6 e; q* K, y7 p& D呵呵,大侠,你不觉得你引用的这段定义和之前的张先生的讲法矛盾吗?
既然无限小数不能四则运算,那么又怎么冒出一个其差值无限小呢?如果0.1111....+0.11111....不能找到一个具体的数位进行性计算，那为什么1-0.9999....就可以呢？这岂不成了双重标准？
同样的，你也说了，计算Pi就是直接算pi+pi，那么，如果说无限循环小数的定义说成立，0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么区别呢？
总之，个人认为，讨论一个数系，无论是原理还是论证方法，其引用最好出自一人。至少可以肯定张先生的理论同魏先生存在分歧。而魏先生的理论，其实是从另一个角度去阐述柯西序列。即，有理数x和y之间的距离定义为绝对值|x − y|，其中绝对值|z|定义为z和−z的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关于这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（x0，x1，x2，…）。这是一个从自然数到有理数的映射，使得对于任何正有理数δ，总存在一个N，使得对于所有的m、n > N，都有|xm − xn| ≤ δ。（两项之间的距离变得比任何正的有理数都要小。）
另外，可以一提的，在数学中，如果一个定理可以被由公理证明，且这个定理存在一个由其推出的充要推论，那么这个定理和推论都可以直接应用。那么1/3=0.33....是否属于这样的一个判定序列内呢？如果属于，那么四则为什么成为无意义的呢？
7 g' f1 _, N/ P& x( N类似的例子比如说平行线定理及其推论，如果说可以类比的话，作为公理，我们同样认为平行线是两条无线长度时都不会相交的直线，那么同样的，如果一条直线上存在有限距离的两个点，且这两个分别在两条平行线上，那么这条直线与平行线相交。如果存在无限距离的两个点，那么这条直线是平行于平行线呢还是相交呢？呵呵。因为，如果你一定要强调无限小数的四则运算中因为不能找到一个确定的位数来进行计算，那么同样的，这条具有无限距离的两个点的直线，同样无法找到一个确定的距离，或者说无法找到交点的确实位置，那么这种时候是平行还是相交呢？
- R1 _, M5 K$ I6 F4 j( {另外，说句个人理解，张先生的说法实际上是一种悖论。非错非对，因为你从任何两个相反的角度去论证都能得到一个合理的结果。所以，没必要纠结于此。在完备数系之中，无论是四则还是定义，应用即可。

Pascal

呵呵，zero大侠，我试着解释下。
9 m$ \4 r) L; \: n  N& j7 p& f1. 无限小数不能四则运算，不代表不能进行不等式运算。0.111......<1，数学上是承认的。同样，魏先生算出来1-0.999...了么？没有，但是他对差值进行了不等式运算。请再读下魏先生的话。
1 r/ ?) l. ?6 Q6 C0 s2. 我在23楼有个补充说明，“”但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行“，不是说这个等式不成立，而是说这种直接加的运算不行”。
3. 0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么区别呢？0.333.....+0.333...在数量上等于2/3，但这种直接加的运算是非法的。结论正确不代表运算过程正确，这在数学中太常见了。
/ p- ^0 a- ]* G+ o1 A+ ^/ W4. 我也曾经想过，既然0.333.....+0.333...在数量上等于2/3，那可不可以自己来定义下无限小数的运算规则？理论上是可以的，数学不就是如此吗？当然，给出的定义不能与已有的公理体系相矛盾！不过我没这个能力去定义。
5. 平行问题，我的回答是两条线是平行的，也可以说它们相交于无穷远。

Pascal

截图来自加德纳的《无限过程——数学的分析的背景》P74~75, P143

Pascal

刚没粘贴上。