本帖最后由 动静之机 于 2013-7-27 11:27 编辑 : N) G) F; d) l: A
# x& I8 B! K X9 l: h4 n3 x原问在此，回复不多： 2 i6 e4 y. o& V/ S. _' U* z6 C5 U3 Y
求传动比3 f& h4 O) l7 r' c: {( F- Q
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=331458& m% l9 f- w; o4 \; R* f
# I& Y0 D' D' J& g+ O: W
9 }0 [- s3 t6 U% X8 j单开一贴进行回复，原因： 首先，出于自私。呵呵，自己的娃儿，咋看咋好看，到理论探讨板块秀一个。 再者，没收到玉，惹到砖头，砸出点灵感，也不错。 最后，预防健忘。开个独立的帖子，将来好找 (本文末那动态gif图的旧帖就找了好久)。 7 {* N+ j6 w/ B( |
原问题可以简化（变形）成这样： 4 j* s9 O* F2 i% P$ e" Z
/ b0 R4 b Z: {) E3 I
AB为齿轮1偏心量，长度为r BC为连杆1，长度为b，等于齿轮1分度圆半径R1+齿轮2分度圆半径R2 CO为连杆2，长度为a，等于齿轮2分度圆半径R2+齿轮3分度圆半径R3 OA为输入输出轴间距，长度为s . Y+ K9 t! X, M; y( z
齿轮1偏心转角记为α& `+ T( k4 v6 K0 [
两个连杆夹角记为β 作辅助线OB，其与水平方向夹角为φ，与CO即连杆2夹角为θ/ y% Q* j! B2 a5 P' j- `8 h
过C点作水平作辅助线，与BC即连杆1之夹角记为δ
: `! [* F. j) z! V( G+ a( L0 X) Z这个图是随便画的，和原问题不太一致，反而藉此发现了个尺寸链问题： a+b>s+r （偏心轮转角α为零度时，两连杆足够长，不然为无法连续运转） s>r+R1+R3+2m (m为模数，偏心轮转角α为180度时，齿轮1、3不得相撞) 8 C4 f% K" o5 x
/ S) I" v& x: }
继续： 设齿轮3的圆心O为坐标原点，齿轮1的圆心B的坐标为（x，y），则： x=s + r Cosα ------- 1 y=r Sinα ------- 2
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- {$ k0 @* a$ |( {0 r9 i" [# K( L齿轮1动作可分解为绕自身圆心的转动(作为输入转速)+自身圆心沿着 偏心作平动(引起了连杆1、2角速度的变化)。 齿轮1绝对角速度为转 角的导数，记为α'
/ m5 u0 q8 k K! r1 ?
* F+ U( m9 ^# ^ 连杆1的绝对角速度为转角的导数，记为-δ’。为嘛是负的？呵呵。 连杆2的绝对角速度为转角和θ的φ导数之和，记为θ’+φ’ + P# \! r9 K8 w
1 s/ l+ O. I, o
现在，大家都站到连杆1上面来看： 齿轮1相对连杆1的相对角速度为 α'-(-δ’) =α'+δ’ 则齿轮2相对连杆1的角速度为 -u(α'+δ’)这个u是连杆1上的传动反比(z1/z2) 则齿轮2对地的绝对角速度为 -u(α'+δ’)+(-δ’) ，简记为T
% K) [! a9 c# L) j; W: b1 k
% z8 @ o( q" b6 O 然后，大家都站到连杆2上面来看： 齿轮2相对连杆2的相对角速度为 T- (θ’+φ’) 则齿轮3相对连杆2的角速度为 -v[ T- (θ’+φ’)]这个v是连杆2上的传动反比(z2/z3) 则齿轮3对地的绝对角速度为-v[ T- (θ’+φ’)]+θ’+φ’ ; K" l+ ^ v; j
2 a8 D7 |8 m. c% Q- @# s1 m 由于原例子中u=33/30，v=30/33。如果马虎一些，可以认为u≈v≈1 于是，齿轮3对地绝对角速度可以简化为 -1[T-(θ’+ φ’)] +θ’+φ’ =-T+2θ’+2φ’ =-[-(α'+ δ’)+ (-δ’)] +2θ’+2φ’ =α'+2δ’+2θ’+2φ’ = α'+2(- β'- φ'- θ')+2θ’+2φ’ = α'-2β’ 0 O7 t9 v2 ]# v: ?6 h* O4 B
一句话概括：输出轴的转速约等于输入轴的转速减去连杆夹角变化率的两倍。 $ k3 h* X% ~5 Q8 a$ B+ y9 c
好吧，如果两级的传动反比u≠v≠1，那精确结果将是：
! K0 Y5 v6 R& A. j! z L-v[-u(α'+δ’)+ (-δ’)- (θ’+φ’)] +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1)δ’ +vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1) (- β'- φ'- θ') +vθ’+vφ’+θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'- (vu+1)φ'- (vu+1)θ'+vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'+ (v-vu) θ’+(v-vu)φ’ = vuα'- (0.5vu+1+0.5v) β'+(v-vu)φ’ 注：θ’= -β'/2 汗 3 P& ?1 h6 K: W: }4 g+ {8 a' R a
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不可信？ 这就是俺发这个练习贴的原因，是对这个问题的简化: 一个简单的考题考倒一大片! ---- 续IV
6 [, b6 W u' }7 E O+ \5 L心算即可解决这个简化问题，分四步操作：
1 L: V; B: h) W7 ?+ e0 I3 r9 ~+ Y1. 把摩擦轮1用绳子绑定在连杆上。无视板砖，直接把右部连杆1从水平态 顺时针折120度，直到轮1轮3接触。那么轮2跟着转了120度，因此轮3逆时针转了120度。 2. 绕轮3中心整体逆时针转60度，达到终点的位置。此时由于轮1还被绳子捆牢，因此轮3继续逆时针转60度。 3. 由于轮1 被绑住，被迫先顺时针转了120度逆回60度，因此现在解开轮1 的绳子，必须先将轮1继续逆时针转60度，才能恢复到起始位置的角度。 由于摩擦轮之间的纯滚，轮3继续逆时针前进60度。当然轮1得轻微脱离轮3，不然转不动。 4. 然后轮1继续转动(2r/2πr)360≈ 115度，以模拟滚过来的过程，那么轮3还得逆时针转115度。 因此轮3逆时针转过了120+60+60+115=355度。
0 r2 Q' K& {7 N, ^! o. d7 U$ N
. M e% ^0 V D) N& Y# \ 若用前面推导的结论直接计算(因为此例干脆没有偏心的疑虑)： 轮3转过的角度等于轮1转过的角度115度减去连杆角度变化量的2倍（前面不是说转速的吗？两种转速同时积分，就变成转角啦），但因为变化率是负的(夹角减小)，所以最终又变成加喽。 即轮3转过了115-(- 2x120)=355度 - V; K( b% ~& ^6 Q2 M
( A0 ?, ~0 U& P6 Q+ I+ `4 G( f
前面的证明中设了那么多参数，最后都没啥体现，有点那个小遗憾。 这和盖楼差不多，大厦建成后，脚手架就可以拆除了。。 禁止联想：帮忙打下江山了，也就该滚蛋了。。。 " h4 _0 C; ]5 j; ?7 |
附：输出即时转速精确表达式里 Β和φ的导数求解过程：
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3 e6 f- { _; M8 [0 p大汗淋漓:L:L:L:L:L:L
" j- M4 H' T' y3 |; _) \8 O1 L( p' q, h& w! P- ~2 u
最高转速和最低转速及其位置？ 转速式子继续求导（即角加速度），令结果为零，找到极值点时的α值，代回。。。。。。 . E w6 g) {0 P
位置、速度、加速度图像？综合使用上述系列数据，用N多种软件绘图。; Z+ }! i% R6 _7 M# v0 X* R
感兴趣的同学继续啊~~~俺就要支持不住了。 [+ _4 z5 O7 B3 o9 G6 v5 n
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' H3 B! \' i: q+ G3 F: d
3 Q: c n/ |8 `8 S4 |这是上回用这个搞笑图的帖子:
2 R) f! k6 B) j1 J. Q8 E这个六杆机构滑块的位移能不能用函数表示出来
+ d7 p% q- ~& ihttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=267205
g3 c, n; U f7 y, @: W0 J8 L
: h& c8 o, `4 _9 s/ R% Q% N% F觉得有启发的，给点支持哈~
& S. U$ e q/ F
, S8 }8 J- k. z$ z. l后记： 桂花暗香同学给了Proe模拟视频，转成GIF如下：+ @) D% c, l7 }" ~" x( p# d
（请注意，动画只是循环播放主动轮第一圈的情况。）# B4 ~+ Z% D! S8 c4 v2 H
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发表于 2013-7-20 23:01:24
，忙了大半宿，发现得返工了。
