本帖最后由 动静之机 于 2013-7-6 14:20 编辑
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这两天比较愉快。小子连闯两道关，考上了南外初中。
1 d8 p, M p5 B" L& G; G, h4 r! K3千多人抽签（绝大多数都是有备而来的主），2560人中签，然后考试，录取320人，男女各半。5 X: J5 s- Y$ p/ y% Q
- Q. n- A4 b5 Y1 x' d
那天考完，出口处所有的孩子都苦着脸出来，说数学太难（出题也用英语）。6 h4 J8 n4 v2 k* j6 C( K( k8 U6 p
俺家的亦是如此，说还有大概20多题没空做（至少30分没了，总分150分的卷子）。
/ ^) p1 _' s3 U9 v z- g不过此次考试没考这类转几圈的题目，呵呵，瞎担心了： X4 ?5 @) _8 d$ r
一个简单的考题考倒一大片! ---- 续I
5 f) R6 Q$ _ D* Yhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2315039 _, [7 U# n O- Y
/ r% e. ^) Z: |7 n* q+ o Q6 g# `4 B
一周前，俺发了这个帖子：
. h6 x! n+ {# z! Z* R7 \. ^怎样车椭圆/ d- K1 n: }8 h
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
Z0 {& s4 Y; ~; I; P) J/ p8 r4 L2 g
里面提到的德国网站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有这么几个椭圆规：
" t2 a! A- b% C# R- M
; ?/ F$ j! [" H/ o3 i3 |这个就是十字滑轨式的，已经在“怎样车椭圆”帖子里说清楚了。' g6 _4 c4 `( ~) y/ x, ?7 j4 Z
q' q3 }# F6 ?+ Z
, L8 c4 n5 l. Y8 C6 }/ n6 U
这个显然是利用内齿轮啮合的机构，大小直径比为2，这也说过了。
; V7 k: F* B5 e1 Z1 f% A7 q+ ?, u3 r& X
( p% ]! `) E. ^* W! n
对这第三个东东，俺一下子没看明白。该网站只是说该椭圆规机构
4 r5 }9 V0 u( ]允许在机构旁边作画（切割）因此可以作很小的椭圆。% v2 }/ A s7 g% A- H6 [. H C
6 S1 t0 Z$ P: G3 Q S' e
图片搜索该照片的名称Kopp-Ellipsograph发现有这么一张图，简直一摸一样：: X4 N% b2 O' F3 X' K$ _
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
2 i$ O/ |$ _1 V7 S* I4 A! ?0 C
5 Y4 U2 T- ^# z5 R意味着有相关文章可看，大喜，点击过去，十几秒后，页面终于打开，晕倒。 有人感慨“它认识我，我不认识它”大概就这意思。
8 \# {5 y) P7 m) f: F不死心，重新搜关键词，找到一个链接，对该机构有些许说明： http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
2 _% S# I, q% o/ l. s) E最下方提到参考书名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves 2 @6 s9 j" V# ^
于是搜来（估计是苏联图书的英译版）。抱歉，11M，就不上传了。
* m5 ?, T& h7 R* c) ^1 K+ C' \* A$ E
翻遍全书，发现在105，106页，有个证明（PS拼接如下）：
% P0 q! g4 x( M: i6 m) J
, k* B6 V) h: E5 K6 q( v
这个证明和照片里的椭圆规不太一样。: H( L) Z; d% V/ I; @# K
b1 i/ e4 t& u0 D8 `好吧，为了安心，也因为今儿个高兴，把照片里的机构也画瓢地证一遍：% d! k6 V5 G! z' W& c
设仿形机构放大系数为K，即DC=K*DM，两个起点都在X轴上且都处在自身1 o# Q* c5 Z' v
圆心的右侧（计算比较方便）。左侧齿轮逆时针旋转，右侧顺时针旋转。, ?: u$ @- ?$ f4 \9 }0 T8 R
5 F( D4 Y8 v* m2 x1 B) @' p% X1 R0 |3 {
对于C点X坐标，分别从r2 r3 两条路找到关系式：& S- ^; m6 p, a6 v
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x
! A; F" p. g; Y$ fr3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x 6 \+ F7 a1 m( f2 ?
消去Cosβ参数，得到:
/ ^9 L$ R; k( h, }(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα ------------------- A
, h8 B. P9 K0 z2 c6 [! U) c4 a0 _. V; v" X/ j) `
; @( w( k1 Q4 Z" H9 Q
对于C点y坐标，分别从r2 r3两条路找到关系式：9 E r; I% g$ b* ~- E
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ
. B* Y+ m6 l+ M3 V) W- P- W4 u-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
o# W" a) k" ^' F" I% \& d( [消去Sinβ参数，得到: 9 a4 ?- f, R' }% G$ U, o1 h
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα ------------------------ B1 ]. d# }% _. c* R
4 A; ?7 x! s2 _. Y" _
. |9 c6 {! P. z4 N3 H
把A式和B式综合起来，就是（但愿全部步骤没错 ）:
( w' ]/ M7 k% r
6 x/ ]" {( i$ Y" Q3 q$ X
4 ?$ h9 G0 F3 I7 u- g: i这显然是个圆心分布于X轴(2k-1)R处，长半轴 (k-1)r2 + kr3 ，短半轴为 (k-1)r2 - kr3 绝对值的椭圆。
4 ?5 ]# g/ g& N: Z5 r. L) I' V8 Q7 P% r3 ]5 k5 y
α=90度时，两个驱动臂互为180度，画出椭圆长半轴最低点。
. C0 ~, {; d0 _: x' z/ H: P* ^# R6 {% n
若起始时，选取的某点已有初始角度，例如左侧所取得点已经逆时针转过180度，右侧尚未动，则
5 k* F3 N, `4 E) @" _' y4 r意味着两个驱动臂已经提前达180度角，那么当前画出的点将是长半轴，而且在X轴上。也就是说，
4 A3 B0 }6 L4 H+ y输出的椭圆虽然大小完全没变，但相对于例证，已经转过90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。7 I4 n! n, D# p2 o
$ w; B: `1 _2 Y" L/ G回头再看看那个满眼鸟语的维基原图的证明，就释然了。 3 J( I1 ^: n4 e) I5 d
, T3 W+ k# ?# {/ s3 V
不妨拿这个仿形机构来说明：
( B% G2 Q" i! z: l, y6 t v
/ Q9 r" p! z* u5 k" W$ s, @' y
- m& a z; i. Q& n1 g. u- G. g5 E9 `$ f
这个机构简直天生为就是两个复矢量的合成缩放准备的。
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公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味着，若左侧输入Za，中间输入Zb，右侧输出为Zm。
6 ~ h1 ^1 U& X5 i% N- c* U3 E- |) q假设Za不动，放大作用使Zm为K倍的Zb，假设Zb不动，则杠杆作用使Zm为k-1倍的Za，
% W! C# W1 ]* j% h \0 [不过由于处于杠杆的两侧，动作相反，因此有个负号。4 {& A6 b. K, D8 }8 N" x- h
& f5 d- Q- v t# o+ h) m9 I
一般的应用都把其中一个点定死，一个点输入另一个点输出，例如某些古老的仿形机床。
+ J) N' V5 e1 t7 U- e日内瓦湖畔的瑞士军刀小店用的军刀刻字机，也用这种机构。老板把客人的姓名字母凹
3 w- i; Z7 i6 c }+ V: x; Z2 {模板（约20x30毫米，厚2毫米）在轨道上排列好，然后用仿形机构缩刻在刀柄上。
: j" \% P. Q! ?只有西文字母可选？ 嗯，下次谁有机会去的话，先带上自己名字的中文模板哦。。。! z5 G2 c) y" }- N
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发表于 2013-7-6 13:56:53
