弹性力学中的一个问题

不懂的太多xx · 发表于 2016-5-26 14:10:47

关于我自己纠结的点，我已经解决，证明过程放出来了。首先感谢云侠和零侠的回帖。特别感谢一下零侠。

云制造 · 发表于 2016-5-26 19:28:37

不懂的太多xx 发表于 2016-5-26 14:10
( {+ P( J5 J! P# b2 }关于我自己纠结的点，我已经解决，证明过程放出来了。首先感谢云侠和零侠的回帖。特别感谢一下零侠。

这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a''，那d'就会到d''。所以绕了一圈，还是跟原来的物理过程是一样的。跟单独考虑径向位移和环向位移再综合是一样的。

另外楼主要注意的是，严格意义上其实d'和d''不是在半径为(r+u)的同一个圆弧上，d''是距离这个圆弧有一个小的增量，因为是dr和dθ都是无穷小量，可以认为d'和d''在同一个圆弧上。

这也是我那个数学方程推导过程的分母直接是rdθ，实际上严格意义上是点（r，θ）和点（r+dr，θ+dθ）的距离，是省去了高阶小量。

其实我那个就是纯数学推导，只是在最后求偏导数时用图作了说明，（针对仅径向位移）。

另外我为什么强调单个点的位移意义不大，是因为存在刚体位移或者其他位移情况下，即使有位移，也没有变形，（或者大位移，小变形），所以我强调两点变形前后位移差。（就像这个极坐标下，所有点绕着轴线旋转，有位移，无应变）。

另外这些方程都是针对小变形，10的负几次方的量级。对于大变形，比如橡胶之类物质，就不是这样的方程。

不懂的太多xx · 发表于 2016-5-26 20:08:02

云制造发表于 2016-5-26 19:28
; V( f- R$ i( K* V这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a'' ...

我一直也说，理解这个借助物理模型和不借助都得一样，而我一直只想从应变的最基本定义来推倒，过程中我旋转只是借助一种数学方式来计算这个。
大侠有一点错误，并不是（r，sita）和(r+dr, Sita+d Sita)的距离，而是和（r，sita+d sita），dr和dsita是定义这个微单元的微小量。
四个点，变形前坐标是（r，sita），（r，sita+dsita），（r+dr，sita），（r+dr，sita+dsita）
变形后（r+u，sita+a），（r+u+X，sita+a+b），（r+u+dr，sita+a），（r+u+dr+X，sita+a+b），其中X是u对sita的偏导数乘以dsita，a是点a转过的角度，b是变形后dsita的增加的角度，严格来说前后角度也是不一样的。而这也是建立在忽略ab边的剪切角，这个是因为v对r的偏导数乘以dr产生的，之所以忽略是因为这些都是高阶微量。其实同样的，满复杂的我也已经证明，只不过图太乱，不好看清。

不懂的太多xx · 发表于 2016-5-26 20:20:28

本帖最后由不懂的太多xx 于 2016-5-26 20:39 编辑

云制造发表于 2016-5-26 19:28
5 \6 M5 x0 q3 m: E2 n* q# k( V" }这个是没有问题的，只不过相当于楼主绕了个弯，d''d'''其实就是环向位移，如果没有环向位移，旋转a'到a'' ...

大侠用v（r+dr，sita+dsita）-v（r，sita）表示ad线段的伸长量有点突兀。从你的第一个公式来看，你是想求应变，分母是rdsita，但是分子确实c点环向位移减去a点环向位移，分子表示的还是ad线段的伸长量，两个点还不在微单元的任何一个边上，这个得需要证明。
大侠v对sita的偏导数求解没有任何问题。
关于这个理解，我想问大侠一个问题，对于在笛卡尔坐标系下的长方体微单元和极坐标下的微单元，关于应变的算法和表示的意义。在笛卡尔下，左右两边线段的伸长都可以表示y向应变；在极坐标下用ad线段应变代表环向应变，有没有想过用bc线段应变代表环向应变，两者是否相同，有没有算过？为什么书中用ad线段表示，而不用bc线段表示？

云制造 · 发表于 2016-5-27 09:04:06

不懂的太多xx 发表于 2016-5-26 20:08/ `2 @8 z5 Y8 M! Y6 ]
我一直也说，理解这个借助物理模型和不借助都得一样，而我一直只想从应变的最基本定义来推倒，过程中我旋 ...

不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x），求它的导数就是x=x0附件取一个点，这个点的位置是x0+Δx，增量是Δy。所以我的那个式子表示，（r，θ）和（r+dr，θ+dθ）之间v的增量Δv，除以原始的两点之间的长度rdθ（忽略高阶小量）。

另外你问的，ad和bc，其实就是伪命题。你自己推导的过程切应变用的ad线段，而不是是取微元体，其实ad可以任意取，ad也可以取在bc的位置。另外要有这个概念，这个时候的ad和bc其实是非常近的，只不过画图作为说明，把距离划的很大，好像两处的应变不一样。应变是有连续性的，不会在一点的左侧和右侧有突变，bc是无限接近ad，（微元体到底有多微？要有极限的场景理解），其实既然是取微元体，就可以认为在微元体内的量是常量（或者可以认为取的微元体的平均量），如果还认为比如长方形微元体的正应变沿着斜边不是常量，就没必要。即使有细微的变化，也是高阶小量。所以你说的ad和bc的区别就是伪命题。

不懂的太多xx · 发表于 2016-5-27 11:21:18

云制造发表于 2016-5-27 09:04
( p) b. R H4 F' {* j不是 4个点，我推导过程就是在（r，θ）点附件取一个点，这个点就用（r+dr，θ+dθ）表示，就像y=f（x） ...

首先，应变都是针对单元体来的，单元体的某个方向的应变（比如y向），则是用线段的伸长量除以原始长度得来的，这是最初的应变定义。我一直说从应变的基础定义来证明计算。就是先切的微元体，然后求的微元体的某条边的伸长量。
弹性力学，计算应力和应变都会说取一个微单元，之后计算该微单元的某向线段两点的位移，计算应变。大侠取的（r+dr，θ+dθ）和（r，θ）两点，数学角度的基本定义咱没必要说，大侠用的是全微分和斜率。就说从力学角度，这两个点表示的是哪个微单元中的哪个线段？我的意思是这个要弄清楚，先确定一个用来表示线段的数学模型。ε=δ/L，这是力学中的计算应变的最基本模型，大侠当中的δ是哪一个？L是哪一个？从这个模型配对来类推，大侠的δ是v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ），L是rdθ。
位移函数是原始坐标的函数，v（r+dr，θ+dθ）是（r+dr，θ+dθ）处的位移，v（r，θ）是（r，θ）处的位移。若想用ε=δ/L这个模型，对a点取的这个微单元来说，径向应变只能用ab线段，切向应变只能用ad线段。而大侠的v（r+dr，θ+dθ）-v（r，θ）表示的又是哪一个？
大侠用的全微分，表示的是在a点切向位移v对r和θ的全微分（也就是v的增量），而只是针对v这个二元函数，该点的微增量；这一步是单纯从v函数来求解的。而后面除以的rdθ又是从极坐标中的两点计算来的，先不管别的（这个别的我后面），顺着你的思路，两点之间的长度是多少？是(rdθ)2+(dr)2在开方。这个存在质疑。
现在说那个‘别的’，证明应该有两种：1、纯数学证明，完全用v函数来证明；2、在极坐标中，用线段的伸长量来证明。大侠这个证明，v的增量用的是v函数的全微分，前面的思路是用函数来求该点的增量，后面又转到两点之间线段的长度（极坐标）下，我觉得这样不严谨。大侠既然想用函数证明，就应该彻底的用该点的函数证明，先增量，后在一个三维坐标系中描述出该点的位置，计算微段斜率，利用斜率来计算应变。
再就是ab和bc的问题，微积分这门数学的基本思路，相信大家都知道，咱们暂时不讨论这个。力学取微单元的基本假设：单元内部的应力和应变都是均匀分布的，这个相信大家也都知道。就说在极坐标中的微单元，不管多微小，在计算过程中ad和bc就是不一样，因为自变量是θ角度。而两个长度不一样，在用两个线段算应变的时候就是不一样。
理论上应变是连续的，从推出来的应变公式表象上看，取ab边和取bc是不同的，但最终求的是a这个质点处的单元体的应变，所以最终应该是相同的。我提这个问题，只是想说应该从线段伸长量来证明（就是应变的基础定义）。

不懂的太多xx · 发表于 2016-5-27 11:33:48

云制造发表于 2016-5-27 09:04
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与大侠讨论挺好，大侠还可以对两个问题说说自己得看法。
1、力学中，单元体的每个对称的正应力和切应力是相等的；在推倒静力平衡方程时，具有相同法线的两个面的正应力和切应力则不相等。两者都是取的某点处的微单元，大侠可否说说自己对这两者的看法以及这两者应该用在什么地方？
2、大侠看下面截图中，三角棱形体的体力可以忽略，而长方体的体力不可忽略，这又是为何？
大侠发表一下自己的认识。

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