求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
$ k' x2 |" C* \) z: W4 \确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
2,2,3
3,5,7
! Z; x4 H" c/ B2 J' L( }6 C% {6 A2,6,11
' Q- m  P9 f" A) V( Q4 \/ `  X但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

# v( \+ z. L, A: ?# e! @答案是只有唯一解，2，2，2
5 E  x3 q6 g& V

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
假设abc对2的幂分别为ABC
* O, a' r5 \3 F0 B) m/ |( B则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
. M$ h6 k# ^, i* A) J要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
- u# n7 l1 F% }* s* h3 O% G同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

答案是只有唯一解，2，2，2
...

大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件

5 d( t9 W; S4 T( B

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；

' Z/ C: _; y' L所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧

! C+ ]4 L- U: B0 z4 h1 v- n我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋

3 u' l$ {/ W" r- X# V
8 E/ X* j6 ~0 |: y$ F$ Y' U/ b' N
! B5 E* y% T; n. P. @- o! u! l
0 P, h$ P6 E) ], a% {5 c