求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
$ B5 p5 Z  n3 y7 P- x) r: W0 E  S2,2,3
3,5,7
2,6,11
4 G* l9 @8 P4 c$ G; l0 r2 a3 \: ~但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

/ c/ \8 g1 \9 K  ]# b# i) L我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

答案是只有唯一解，2，2，2
) G4 k  Z: _7 _0 e1 g

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
; g" L& A) n! J3 B' H假设abc对2的幂分别为ABC
, B. A. i' g5 ^  L; u  _则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

答案是只有唯一解，2，2，2
...

- C' w1 E/ l5 m+ V, ?大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件
8 d& z$ L& @8 t5 }7 H" u

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；
; z' z1 V, h8 _" N/ E! L: ]
所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧
* u8 f" z, v$ `; e
我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋



  K3 P4 N# }  V/ b4 d
0 w/ l8 i8 ?9 \8 a' G( J
3 b% c& T/ [0 o3 Q0 w+ X