插齿刀投影齿形与0度前角齿形的压力角转换（原创）

阿松

感觉大多数手册上的公式都不太对。自己推导了一下，得出如下结果：

tan(alpha_0r)=tan(alpha_r)-tan(gama)tan(beta_r)

1 Q8 I' @; J1 w' @, P% q# w

alpha_0r   投影齿廓任意圆上的压力角（曲线在该点的切线与该点圆上的切线的交角）

) e ? f: K. w* \+ h k) T

alpha_r   0度前角时，该任意圆上的压力角

gama   插齿刀刃磨前角（一般取5度）

( M% q' W/ Y) x& h3 {: K: L/ D

beta_r   该任意圆上的螺旋角

$ @) [6 g1 K1 a {5 X( S

 

3 O C7 a5 b+ D, H) u( g4 E$ a- K

我得到一个结果：投影齿形一般比理论齿形来得平坦，即，保证中圆或分度圆压力角相等时，被加工齿轮的齿顶和齿根会被多切去一部分，也就是我们所要求的修形。

logxing

计算完了，结果完全一样

logxing

alpha_0r   投影齿廓任意圆上的压力角的定义是不是应该是曲线在该点的切线与该点与圆心连线的夹角？

阿松

对的，是我搞错了。
我的描述应该这样写：曲线在该点的“法”线与该点圆上的切线的交角。

阿松

如果保持齿根不变，并且插齿刀齿顶圆角半径不变，势必使渐开线起始点离齿根越来越近，这对齿根的设计强度是会有影响的。
& p5 m' ^! V& P2 l+ `, t为了使齿根和渐开线起始点均保持不变，可使刃磨后齿顶圆角比新品时大。这也是可行的，因为负变位时的齿顶厚比正变位时大。但这也要看刀具的加工工艺了，那我可是一窍不通啊。

logxing

理论上正如你所说，但加工上齿顶后角仍然是用直线代替的。而齿顶圆半径也不会做成变化的。我看过你blog里的一篇感想。其实任何理论应用到现实最终都是一种solution，但不同点在于，这个solution是不是基于数值方法的精确解的。我是很不喜欢从实际经验总结出来的模糊的但可行的解决方案的，大概是因为我学的是理科而不是工科的缘故。但是基于精确解的solution，虽然实物并不是精确的，但是理论误差我可以精确的计算出来，我觉得还是可以接受的。只要理论误差在公差范围内，实际使用中是不会出现问题的。而成本又不必那么高。everything is under control.哈，我就放心了。

现在插齿刀的理论误差都讨论得差不多了。已经可以做一个验证刀具商的设计（齿根径，渐开线起始径）是否合理的软件了。

! ?3 x. [6 V3 r3 }& q/ x% V+ ^

附：齿顶圆角为什么要变大，公式给大家参考

阿松

看来你的方程也不太好解，啮合压力角也是有效外径的函数，头痛啊。
6 _8 l: E% R1 P2 N- S今天偶然列了个齿顶最大圆角的等式，式子很好列，但没法解。
总是有一些形如tan(f(x))=g(x)的式子，感觉有一种方法来解类似的等式。

logxing

我给出那个式子，是想让大家比较方便的判断出齿顶圆角为什么要变大。
7 o+ K$ i6 x' i- q根据我的那个式子，等式右边是肯定小于1的，也就是说有效外径变化得比外径快，也就是说当修磨后，外径和有效外径的差将越来越大，即齿顶圆角会变大。
7 d; Q0 X7 {+ T5 p$ `: Q7 a* ?/ A如果要解的话，我就不会去求微分了，我想我会消掉啮合角，得到一个关于外径和有效外径的方程。
' z% |9 a+ `# ]/ E( V因为齿顶圆角是同时与圆弧和渐开线相切的圆，用它作参数的话，我想形式可能会比较复杂。有了外径和有效外径一一对应的方程之后，再写出外径-齿顶圆角方程就可以了，应该和你的结果一样吧。

阿松

刚才试着推导你的等式，但我的式子好像总是异常复杂，看来都是我以前读书不用功的结果。
+ y% g, r4 d( c  a但觉得被加工齿的基圆和渐开线起始圆应该在式子里出现的，它们对齿顶和有效齿顶的关系式没有影响吗？

我的式子和啮合没有任何关系，只是已知齿顶和变位系数求齿顶最大圆角而已。
我在CAD里模拟了一个例子：刃磨前后的插齿刀的齿顶都为全圆角，齿顶以保证被加工齿齿根不变，刃磨后所加工后的渐开线起始径比刃磨前还是要小一点（例子为外齿）。但我没有试固定齿顶后角时的情况，会有一些变化，但花点时间都是可以计算出来的。

logxing

你的式子虽然没有出现啮合角，但是有基齿厚,其实其齿厚，转位系数，啮合角是一回事，所以你的式子和啮合角还是有关系的，不过从形式上，可能正如你的式子 齿顶圆角-基齿厚的方程形式是最简单的。

你做的那个例子里，因为插齿刀齿厚在变小，所以各个地方的全圆角也在变小，根据上面的讨论，渐开线起始径就会变小。

我的方程由下面两式分别求微分再一比就行了，基圆和渐开线起始圆就消掉了