解一个阀门的数学模型

明月山河

2 y- T) Z+ F& d
设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：

8 F2 I9 p" Q1 F% ]5 n9 Z% Y) O0 ]& o其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
! Z& e0 C# U% e2 U# ^r1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
. x6 f7 W  P  v* M* j1 g目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
/ a7 F8 j: [7 z# _- D想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；
# K: t& @+ e/ i) v4 p" b/ z
! g. G8 w; A5 R0 m* ?. c
, n# h% Y0 B" M* O! P* v
; B8 L4 h/ m/ D. C* x
补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

5 r4 c- ^( s/ O: G" g
! t8 C+ F4 F# Z, w& Q

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的
. m$ g- r! \0 H# y! b4 n" j: Z, N6 D

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
5 H  X, @8 e; O: ]>> syms  s r6 r7 a b
: e! H9 s' V" X. \( f>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

f =

6 }: f1 ], h' {6 o/ O# |" N% M1 {(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)
" s, B; G1 G& R
# c2 R+ G' E6 \7 }. Eans =

# d  {. {( S, _$ ?9 X7 W(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
5 L4 U6 ^  ~( q其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
' K4 j: s# `7 v3 Y% ]* ?- U>> syms  s r6 r7 a b
- H. R* ?$ |9 r0 w>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
>> f=sym('a*x^2+b*x+c')

f =

a*x^2 + b*x + c
( J  ]1 O6 i# _# O) i, v
>> finverse(f,x)

ans =

. H# U$ z& ^0 Z) F-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
4 P( P  Z* @5 G0 B1 g            
3 P( i) d0 E) q) ?0 `               2
9 c" ?4 y: `7 f1 c9 I- D: r  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
- ----------------------------
' y3 X4 ?; J) p: f2 M! C' B               2 a
2 W0 i3 N& F* d% U2 X& ]. }
  Q  b5 J5 W( e9 r5 Z5 x
$ Z' A& X, {' G) s8 O1 Z7 `1 f5 O这个也含有X  估计  可以删除
# {9 B$ R" b+ x- k; C" c


4 T8 ~9 f/ o: B