解一个阀门的数学模型

明月山河

设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。
  B3 {6 m" _; q6 n
2 v) B9 f) f$ l0 T# p如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
- Z' v. y( ?( R: u2 l/ @, D
其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
5 e% ~1 y; z7 q* z, Nr1～r6是未知数，求解它们的表达式；
3 p" u/ y' m: p9 P2 j7 I当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
; A6 C+ ^3 g. |0 c6 |" O* E; X目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
1 k+ n- r3 O* l; T$ c! s4 @想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；


% B! P( K' J  V3 v" f' w

补充内容 (2015-5-24 21:26):
, j# q" o+ \% _6 NSi中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

, U9 l1 ]& |) h2 f9 }6 k, x

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
7 ?& g' u9 ?7 p" Y) h>> syms  s r6 r7 a b
! H; U( ?, Q) {) e* H: b/ v' {>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')
2 c; `( _9 s/ h* \
f =

(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)
. A# U1 D  n6 I7 E* ?+ u8 r
ans =

1 t+ L! _% O% [* }4 |3 {6 i(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

7 r; c6 C' @9 J>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
% i1 v! j/ g0 p9 D7 Z1 ]                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
0 g5 h+ \1 a8 R其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
3 R. `8 Y$ m# O5 b% H3 h>> syms  s r6 r7 a b
  }0 X* ~& D0 `>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
# `  _6 y  N% {>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
& T$ M4 ^! f, f) v
f =
" U3 T- z: ]: |$ y+ y
a*x^2 + b*x + c

>> finverse(f,x)
6 @* f- g0 S" q$ D$ ^/ ~
, X& M& w: L( \7 |ans =

6 O$ i+ |! v0 Y  x2 Q3 G8 |$ r-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
            
. }" F4 R) F. p. ]2 S. `0 O9 |& _               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
3 Y% Y" s# W1 p3 z$ ]- ----------------------------
               2 a

! t( {+ z: \8 X: z, g; b
  v- x/ ~$ o/ `4 Q: f4 q1 J4 S这个也含有X  估计  可以删除
2 q, b# Y1 H! a' a& r- D3 o
: [' w6 z- ~& D- t% }, r
3 l4 G+ b+ x  y% C+ r

" a1 b) J6 z6 H, c' |