解一个阀门的数学模型

明月山河

设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

! S7 j4 i& O* Z& {0 o; L+ U( T如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
0 i9 [! N" L1 q1 B# w1 N7 Z% o$ b
% Y: ]$ i8 |; ?6 ^6 M其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
4 g6 s. ^1 |* v& ~% s" rr1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
; Y) m! R. W  E那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；




2 \9 c+ c) c! b2 u% b补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')
1 M! S/ R7 l% t$ r$ p% a
f =

(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
7 q) e* y# P4 M  w >> finverse(f,r6)
* f5 D9 P" J. q: z+ `
ans =
  Y" A& H7 p- V
# V2 c5 Y0 e% s+ X" o(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
/ X- I  X; P" u& }5 o                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
! A( m3 c. h, C: n% A5 D! t---------------------------------------------------------------
) e% i  w; u$ }  K9 q                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
9 v1 {5 }7 L7 Z% e5 f3 U3 s" }>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
0 E! l7 F0 A( U9 _: t>> f=sym('a*x^2+b*x+c')

( F4 ], Q- J; ?; K/ [( O; G. ef =
, j$ |! }- B, a& |' ]
a*x^2 + b*x + c

>> finverse(f,x)

! d) S* e8 N7 v$ _ans =
7 ]' n# O5 ?1 _) V) f
-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

# i8 e2 B3 ~' F6 j' f3 Q我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
5 k: e% i8 a1 d5 n1 V            
" G9 K( L7 F( g) t6 Q& \+ k               2
7 B% p% k2 n4 e( a4 M( P  t  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
- ----------------------------
               2 a


5 X+ X/ M1 B' d# x, s# \这个也含有X  估计  可以删除
, I2 f; z! d" C/ n3 \* W% l
) l. f* `9 @3 \& S
7 ]( i% q( T* M( {% b$ u
, L  G5 @0 P7 }3 H: \( @
0 r! w0 Z& {+ s: E* E, }& \