请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

! ]! D5 ^) @6 W/ {5 E

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

7 Y" X6 C3 w1 d! }; b对于等速运动用运动学基本公式，可以推出

% Z0 Q  J2 f  ], D
但是对于等加速度运动的描述
5 T! z9 W( H+ w9 i
却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
. }* _& A5 I1 ^+ C无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
, j" ]1 n1 u; }5 y  D大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
. T& ]* w" s5 s$ d; H, j还请大侠帮忙解惑？
9 v/ w9 p' r3 D% c0 p( }

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大 ...

我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。
( J; w  W: t% f4 `2 ?

luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
% l. S$ N9 {3 W" B* k1 \或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大 ...

大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
7 B6 _! G( `- w! J1 D1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
7 ?' J) T1 d: R8 k1 w4 Y2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
! D8 }/ w5 D5 n: o1 S" \) E9 D% y4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。
" ]; h0 {! i8 m5 v: y) j
回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
$ X+ x7 A; [: D+ c6 M1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
  e7 j( k6 L7 q0 {3 }4 O2 h2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
3 ^: P- r& G" D" s5 y3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
- \. J4 M$ N. I9 M7 J0 d                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
                                           a=2*C2*w^2
9 X6 H. R3 u( M, U4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
+ j! M& H7 }" p0 f' a, e" e                       加速段边界条件：
. |9 r2 @/ v& q1 e" p                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
! b0 G) S1 q, m7 L; L0 \                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
                        减速段边界条件：
, u  i6 ]4 {) M$ u' X                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
7 u, I: v5 F4 G2 U                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0
% c, @9 M/ v. f
5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
                        加速段：
* ^6 l! x; \& d7 e1 h                             s=2*h*(δ/δ0)^2
5 m) V5 H, E4 Q, Q4 D5 Q2 K" X                             v=4*h*w*δ/δ0^2
                             a=4*h*(w/δ0)^2
9 s+ V& J# m6 W7 Y, i+ U/ Z8 u                        减速段：
                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
9 V2 G) p% _& l0 q6 D# J                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
* {( j: B, r. _" S/ z8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
1 Y0 V' w# h0 A& D9 m" W8 q                        T=t/th   
  q* i4 H4 g3 q5 u                        S=s/h   
9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
1 |& x5 K+ O, x+ K6 E- O# q   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
$ P$ j1 b! z) [( T                     加速度段：
; S/ M  R- S" r5 j: M                              S*h=2*h*T^2
      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
4 z: A: l$ Z4 h, W                             无量纲 V=4*T
                             无量纲 A=4
12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
" ?$ l) r' e: H# O% D$ f     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
% a4 l" ~  r  v* h2 t; C: y  |13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
: Z- P* ^, o" D, V6 {3 N2 q: J14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
% A" c2 s2 |- M     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
                           
                           
% i7 e& W/ Y! B2 M& a, E+ c% |2 \
            
! b8 }; o% F$ r4 x; Q. b; R$ O

luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
! v0 M4 m  Z+ q" ~, f; {% H看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
9 k, I9 U- w) V  s1 k' i# k遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
5 N) Q% \" z3 }$ B7 A+ q  C6 D我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。