请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

! w( y0 y& L  A) B# u" n- J8 S
4 [) X4 q) b: |4 j0 p& Y

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

- Z2 b$ Z0 X' \
$ @* C! a( h$ `+ K9 m+ D对于等速运动用运动学基本公式，可以推出

" w& F7 g: i( M) d6 P. i( ?
但是对于等加速度运动的描述
1 H! s+ b) t+ l4 A% F2 i, ^
  \# I! S3 A, n, T% n9 h却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
5 X' V" R* U# F5 H0 w) @% ]这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
$ T& ^2 A& l. B/ y; R$ K无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

6 S1 N# [; a8 s( |9 z% y大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
2 Y& p6 r1 `3 z- X6 h& q* u% V+ a大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
还请大侠帮忙解惑？
0 I9 d3 b0 a4 U- A/ Z

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
( H/ u( h# Q* T! S4 {大 ...

我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。
- J7 G: I7 ^$ U5 \9 U

luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
% n% t( C4 X& \8 u3 `+ {或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大 ...

  H4 z0 S4 I3 e$ B
3 @+ c0 L7 \1 C0 @- r9 _4 z大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
# M2 ~, t9 D. ~. A! v2 j2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
/ m5 [1 F; ^  t4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。

回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
; T% y. s- n+ R1 h( b0 ^1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
; B# D- i8 Y; h7 x+ \: a3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
# f) ^3 |* V; F8 D! ]                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
                                           a=2*C2*w^2
9 S- ~' ]* }0 f2 ]0 O4 E4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
                       加速段边界条件：
) D% ^6 i2 R7 d5 q0 U                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
( ]( j3 j* Q, W% }1 A+ w                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
0 u- A4 S3 o; ?* j3 W! K" X                        减速段边界条件：
9 D1 ?9 U- g' o+ x" l                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
3 Q/ \; o7 b1 n- B$ L! {                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0

, V2 `3 `8 E2 ]1 _5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
0 ~* O- Z& R9 x9 a; n3 t5 h                        加速段：
                             s=2*h*(δ/δ0)^2
; v& R2 p0 n& A7 r                             v=4*h*w*δ/δ0^2
0 d" ~/ H" y% m6 w/ B3 }                             a=4*h*(w/δ0)^2
                        减速段：
0 f7 Y6 g/ W) T' t1 G# b# P: Q4 e                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
; G( P) F# H  m7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
; C* W5 Z6 n- r8 @) n0 H3 g  Y                        T=t/th   
                        S=s/h   
. p* G$ A4 p3 A4 |2 H9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
/ }7 ?; \/ N& m. S  d   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
0 T: @, N9 {* j) J0 O; d. Y( p4 A10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
                     加速度段：
: v0 y9 ]2 O, T1 h' B                              S*h=2*h*T^2
      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
8 t/ a$ E, V9 o3 ~& f                             无量纲 V=4*T
) Q4 I- J" [" O: Q" g7 D                             无量纲 A=4
12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
" U3 m- f5 k7 Z# ~2 v     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
                           
                           

5 I" |! W( Q% I            
& X5 a1 J, T. U. k& Z, g

luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
5 \7 h+ {# V* k7 f1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
+ j2 X# c7 V$ W: X* L经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
& ?& R  C8 B6 N' s( ^% I, e' p米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
+ Z" R- W$ \2 O角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
( \2 R+ G. J: z9 z我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

; [% c) G' R2 a相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。