读书笔记之三---谨慎使用传递性

Pascal

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( A9 [9 C. o* P: B7 j这是笔记系列之三。

之一是
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5 j" q, k* M4 H

之二是

http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=364734
, q# L1 e- v/ f7 O: D! A" a

1.在数学中，我们普遍使用传递性，如在实数范围内

a=b,b=c,则a=c

a>b, b>c,则a>c

' w/ T9 Q3 G* ?; s* A

2.但在现实生活中，使用传递性则要谨慎。

让我们看看这个问题：有一个2人游戏，甲乙二人来玩，每个人获胜的概率都是50%，也就是说此游戏对甲乙二人来说是公平的；同样，此游戏对乙丙二人来说也是公平的。我们能否推导出---此游戏对甲丙二人来说也是公平的？

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3. 答案是否定的---即此游戏对甲丙二人来说不一定是公平的。

, G+ q. j! x8 s" u7 A

4. 我们可以考察以下例子，比如说这是一个扔硬币的游戏，以硬币向上的数字大小定输赢，即比较硬币上面的数字，数字大的赢。硬币非常薄，也就是说硬币不会立在桌子上。

A.甲的硬币一面是数字7，一面是数字3；乙的硬币一面是数字9，一面是数字1。乙如果扔出9，必胜；扔出1则必输，因此乙获胜的概率是50%，同样甲获胜的概率也是50%，即此游戏对甲乙二人来说是公平的。

B.丙的硬币一面是数字6，一面是数字2；我们同理可得乙获胜的概率是50%，同样丙获胜的概率也是50%，即此游戏对乙丙二人来说也是公平的。

C.但是，如果甲丙2人来玩，会发生什么情况呢？游戏还是公平的吗？

伏虎降龙

离散变量，好像是不公平。
但是如果是连续变量呢？根据“实数集”那些理论，是否会导出公平？
请大虾分析。

原谅我今天

这个……用斗兽棋来解释不是更形象吗？

Pascal

伏虎降龙 发表于 2014-8-16 21:54
9 A- p( }* D1 T/ D5 ~7 x0 n5 m离散变量，好像是不公平。
# I' X7 ~) L0 W但是如果是连续变量呢？根据“实数集”那些理论，是否会导出公平？
- W# ]& M# Q( m: Y: z3 z请大虾分析 ...

如果是同样的概率分布，但数学期望值不同的话，还是不公平的。
; C, ]. @$ {3 G2 v, ~

Pascal

我们看看甲丙2人来玩，会发生什么。
3 L' u+ `2 Z( X4 C. ]7 l丙扔数字2，则必输；扔数字6，有一半机会赢。考虑到扔2、6机会是一样的，就是说甲丙玩这个游戏，丙赢的概率只有25%，而甲赢的概率有75%。
所以，对甲丙二人来说，这不是一个公平游戏。

Pascal

或者我们还可以让题目更简单点，乙的硬币不变，还是数字9和1；
甲硬币变成数字7和6，丙硬币变成数字4和3。
) Q7 C8 Y; c: O; [4 u, N对甲乙来说，还是一个公平游戏，胜率各一半；对乙丙来说，也是一个公平游戏，胜率各一半。
只是如果甲丙来玩的话，甲总是赢，丙总是输，这就是个绝对不公平的游戏了。

122747557

能用传递性的都是要在同一性质下的吧！

Pascal

上面说了公平不能传递，“原谅我今天”大侠还提到了足球、斗兽棋的例子。
4 g" b; P" ?6 b+ m下面我们来看看不等量--经济学上叫偏好--能否传递。
. z& j8 d" `& {8 l8 c9 H: z! ?1. 华夏国某镇为推广旅游经济，想选一个镇花出来，经过充分的调查研究，相关部门推出了3种候选花---油菜花、杜鹃花和桂花。
2. 选举人为该镇全体居民，并且我们还假定，对每个人来说，偏好可以传递；即如果某人喜欢油菜花多于杜鹃花、喜欢杜鹃花多于桂花，那么此人必定喜欢油菜花多于桂花。也就是说个体选择有传递性。
' s7 L1 q; M" |$ u, m! u3. 经调查发现有2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花，有2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花。
# g  F9 [6 @5 ^) \! P: V4. 能否得出结论---这次镇花选举中油菜花将胜出？

Pascal

能否得出结论---这次镇花选举中油菜花将胜出？
% n- C0 |" T2 q8 L9 ]5 Z还真不一定。

# P2 U6 ?/ a% L5 F1. 比如该镇有1/3居民对花的偏好是最喜欢油菜花，其次杜鹃花，最后桂花；我们把这个群体称为A群（油菜花，杜鹃花，桂花）。
   有1/3居民对花的偏好是最喜欢杜鹃花，其次桂花，最后油菜花；我们把这个群体称为B群（杜鹃花，桂花，油菜花）。
   有1/3居民对花的偏好是最喜欢桂花，其次油菜花，最后杜鹃花；我们把这个群体称为C群（桂花，油菜花，杜鹃花）。
0 V0 b: s8 X8 O' |2 |5 D: a2. 现在油菜花PK杜鹃花，A、C都是喜欢油菜花多于杜鹃花，只有B不是；即2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花。
   杜鹃花PK桂花，A、B都是喜欢杜鹃花多于桂花，只有C不是；即2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花。
3. 是不是就可以认为该镇居民最喜欢油菜花了？别急，我们再来桂花PK油菜花。
& ]4 j9 b" J" T$ p4 m2 Z( N$ v   桂花PK油菜花，B、C都是喜欢桂花多于油菜花，只有A不是；即2/3的居民喜欢桂花多于油菜花。
4. 2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花，2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花，2/3的居民喜欢桂花多于油菜花。
6 b4 n( ~. D( Q+ S/ Z% l8 D   即油菜花优于杜鹃花，杜鹃花优于桂花，而桂花又优于油菜花！
   怎么会这样！形成连环套了。
   

crazypeanut

不同的样本空间不能混为一谈