读书笔记之三---谨慎使用传递性

Pascal

这是笔记系列之三。
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之一是
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, x# t7 i; x, d4 l

之二是

http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=364734
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1.在数学中，我们普遍使用传递性，如在实数范围内

a=b,b=c,则a=c

a>b, b>c,则a>c

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2.但在现实生活中，使用传递性则要谨慎。

让我们看看这个问题：有一个2人游戏，甲乙二人来玩，每个人获胜的概率都是50%，也就是说此游戏对甲乙二人来说是公平的；同样，此游戏对乙丙二人来说也是公平的。我们能否推导出---此游戏对甲丙二人来说也是公平的？

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3. 答案是否定的---即此游戏对甲丙二人来说不一定是公平的。

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4. 我们可以考察以下例子，比如说这是一个扔硬币的游戏，以硬币向上的数字大小定输赢，即比较硬币上面的数字，数字大的赢。硬币非常薄，也就是说硬币不会立在桌子上。

A.甲的硬币一面是数字7，一面是数字3；乙的硬币一面是数字9，一面是数字1。乙如果扔出9，必胜；扔出1则必输，因此乙获胜的概率是50%，同样甲获胜的概率也是50%，即此游戏对甲乙二人来说是公平的。

B.丙的硬币一面是数字6，一面是数字2；我们同理可得乙获胜的概率是50%，同样丙获胜的概率也是50%，即此游戏对乙丙二人来说也是公平的。

C.但是，如果甲丙2人来玩，会发生什么情况呢？游戏还是公平的吗？

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伏虎降龙

离散变量，好像是不公平。
但是如果是连续变量呢？根据“实数集”那些理论，是否会导出公平？
请大虾分析。

原谅我今天

这个……用斗兽棋来解释不是更形象吗？

Pascal

伏虎降龙 发表于 2014-8-16 21:54
/ v7 Y% {/ L. f1 i- t& a2 X* ?+ ^. {离散变量，好像是不公平。
3 ?6 x# r5 y3 F9 G1 u! w但是如果是连续变量呢？根据“实数集”那些理论，是否会导出公平？
请大虾分析 ...

如果是同样的概率分布，但数学期望值不同的话，还是不公平的。
  S, \8 x3 a% O' q9 G' _

Pascal

我们看看甲丙2人来玩，会发生什么。
8 q& B- L: w- |5 L/ S% n) H丙扔数字2，则必输；扔数字6，有一半机会赢。考虑到扔2、6机会是一样的，就是说甲丙玩这个游戏，丙赢的概率只有25%，而甲赢的概率有75%。
所以，对甲丙二人来说，这不是一个公平游戏。

Pascal

或者我们还可以让题目更简单点，乙的硬币不变，还是数字9和1；
甲硬币变成数字7和6，丙硬币变成数字4和3。
对甲乙来说，还是一个公平游戏，胜率各一半；对乙丙来说，也是一个公平游戏，胜率各一半。
" O, @4 o4 q3 q* a只是如果甲丙来玩的话，甲总是赢，丙总是输，这就是个绝对不公平的游戏了。

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能用传递性的都是要在同一性质下的吧！

Pascal

上面说了公平不能传递，“原谅我今天”大侠还提到了足球、斗兽棋的例子。
  X6 o! V% y8 A% ^9 s# P下面我们来看看不等量--经济学上叫偏好--能否传递。
, M9 O! g" Y( L+ u! d1. 华夏国某镇为推广旅游经济，想选一个镇花出来，经过充分的调查研究，相关部门推出了3种候选花---油菜花、杜鹃花和桂花。
3 X# o- v. \9 q( D8 D- \2. 选举人为该镇全体居民，并且我们还假定，对每个人来说，偏好可以传递；即如果某人喜欢油菜花多于杜鹃花、喜欢杜鹃花多于桂花，那么此人必定喜欢油菜花多于桂花。也就是说个体选择有传递性。
. a2 a0 b- p, ]4 b6 D5 @* W$ s3. 经调查发现有2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花，有2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花。
: M1 P8 S% w; u6 g( }4. 能否得出结论---这次镇花选举中油菜花将胜出？

Pascal

能否得出结论---这次镇花选举中油菜花将胜出？
* @5 q; u- n$ b3 N  w6 z还真不一定。
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1. 比如该镇有1/3居民对花的偏好是最喜欢油菜花，其次杜鹃花，最后桂花；我们把这个群体称为A群（油菜花，杜鹃花，桂花）。
   有1/3居民对花的偏好是最喜欢杜鹃花，其次桂花，最后油菜花；我们把这个群体称为B群（杜鹃花，桂花，油菜花）。
   有1/3居民对花的偏好是最喜欢桂花，其次油菜花，最后杜鹃花；我们把这个群体称为C群（桂花，油菜花，杜鹃花）。
! h. O9 u) ]3 q) A2. 现在油菜花PK杜鹃花，A、C都是喜欢油菜花多于杜鹃花，只有B不是；即2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花。
   杜鹃花PK桂花，A、B都是喜欢杜鹃花多于桂花，只有C不是；即2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花。
, W. F8 ~4 J: ]- {0 t3. 是不是就可以认为该镇居民最喜欢油菜花了？别急，我们再来桂花PK油菜花。
   桂花PK油菜花，B、C都是喜欢桂花多于油菜花，只有A不是；即2/3的居民喜欢桂花多于油菜花。
3 d" J( s$ X. F, C' h5 Z4. 2/3的居民喜欢油菜花多于杜鹃花，2/3的居民喜欢杜鹃花多于桂花，2/3的居民喜欢桂花多于油菜花。
+ s  S$ W( |. X) H- {  I4 Y% H' [  D   即油菜花优于杜鹃花，杜鹃花优于桂花，而桂花又优于油菜花！
& p! W  T' {$ ^   怎么会这样！形成连环套了。
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crazypeanut

不同的样本空间不能混为一谈