西学的代数作为思维工具的威力

逍遥处士

（这个一个很久以前写的帖子。）
" D- `3 t* E1 c" U4 M) N6 ]2 `$ l
想象一个密闭容器内储存着很多空气粒子，这粒子数量是如此的多，以至于你无法数的过来——它几乎是无穷多的。现在让你用一种方法，一下子描述这所有粒子的属性，包括每个粒子的运动速度、它的温度，它的质量等等。想象一下，这可能吗？一下子将这兆亿计的粒子的状态都描述出来，这可能吗？我们知道，即使是用思维想象跟踪一个粒子的运动就已经很吃力了，要在脑中快速计算它的速度，和其它粒子碰撞后的运动方向，等等等等，更何况那数以兆亿计的粒子——也就是说，那几乎是绝对不可能的事。

! w8 p, o$ \; i- ^: Y' ^但是，如果你掌握了代数这个思维工具，上面的事情却是可以做到的。
+ r2 Q/ d7 O. S3 c" P5 \, F
! |/ D% d- P% w6 E/ n# q我们假设这个容器是四方的，以它的左下角为0点，建立起直角三维坐标系，那么，这个容器内的每一个点，都将具有一个坐标：

我们将不跟踪单个粒子，而只着眼于固定的坐标点。那么，在每一个固定的坐标点处，都必将对应着一个温度数值，也就是：

很多人以为这不过是个表格，是个对照表，其实它的真正名字应该叫“函数”，T是x,y,z三个参数的函数，用式子表示起来就是：
* n! L( z5 Y. `: }* v: `/ C
* a& P/ T" S! j! k" R! h1 j这是它的简略形式。如果是详细形式，很可能就类似于这种：

很多人都觉得这个式子很关键，觉得只有推导出了这种式子，才算完成了任务。但很多时候，这种式子是很难推导出来的。其实事实是，这个式子并不重要。我们只需要将上面那个表格，在坐标系里表示出来，也是可以的。它差不多相当于这样：
4 F  _7 @' x8 E4 ~/ D$ L
这是个三维坐标系，你捏住任何一个(x,y,z)坐标值，比如(1,1,1)这个点，然后你将这个图象放大，你就会发现在那个点上，有着一个数，也就是该点的温度：
; |' ~+ e/ `# U: X* u$ j) ~! D6 x% X! N
# h7 ]) _4 o6 E/ Y无论你捏着什么坐标，在那个坐标点上，总能找到一个唯一的温度值。这就是函数。

5 p( g2 \# ]9 f# A& Z  X再来看前面那个函数式：
6 M4 N% a2 ]" w- ?
它其实处于次要位置，但它却有运算的功能。有了这个式子，你就可以利用起所有的代数方法，来研究这个密闭容器内的气体性质。比如什么温度梯度啊，全部点的不同密度啊，全部点的不同速度啊，等等等等，微积分也从而大派用场。
' Y3 M: f+ O  ~6 `: U* }! X
你甚至可以描述炸弹爆炸后的温度场，你可以用球面坐标，用T表示温度，用r,θ,Φ来表示球面坐标点，写下这个式子：

然后做很多实验，发现其中的物理规律，再用代数式描述出来，中间你会得到微分方程。然后通过解微分方程，最终你可能会得到T的完整表达式，就跟这种差不多：
# C. j  v3 H/ t（弄错了，里面的参数应该是r，θ，Φ，不过意思是一样的……）
; {; H+ j. W5 B: g6 [2 n于是你就知道了一个以炸弹爆炸点为球心的，一个球形空间内的任意一点温度的描述式。你只需将该点的坐标值代入上面这个式子就行了。

3 g2 N6 ^: [5 u你甚至可以用这么一个式子，用思维一下子先从总体上把握住整个地球体内的每个点的温度值，然后再慢慢研究。它的应用是无限的。

很多人很看轻思维工具的作用，认为你想的再多，你理论再好……是吧。但是，你不妨想一想，想一个例子，比如原子弹；还有相对论，光线在经过大星球时会偏转，这简直纯粹是理性思维的成果。如果这两个例子有点远，你也不妨设想一个简单的机械结构，比如三层圆筒过盈装配在一起，它们的公差，这个论坛里面，不知道有几人能够标出来。

angel1399793

数值分析
! R. U6 k$ k' f  u& }6 l这是搞学术研究的基本方法。。。

逍遥处士

angel1399793 发表于 2014-6-3 14:36
数值分析
. @3 R5 n: d: s这是搞学术研究的基本方法。。。

# J4 k0 Z  c9 u+ w后生可畏！

% Z, ^. M8 q2 `8 X6 c- Q- @
3 n9 |7 o. @$ J) l2 H! x
, q7 {5 p2 e' ~不妨看看此图，可以看作是油缸的中间一段，由3层缸筒嵌套，由于长度对此题影响不大，故略去。
假设都为同种材料，屈服点为σs=400MPa，。请给出三个圆管外径公差，使本油缸承受内压达到最大。请注意，这个最大，指的是使缸筒任何一处刚刚达到σs即可，也就是安全系数s=1。等求出这个最大内压后，再取一个安全系数，才得出安全使用的压力值。
题目是一半实际一半理论，如果有不合理或自相矛盾的地方，及其它任何疑问，请提出。
& }8 z8 _" {0 z, K- C2 N1 x例如，问：为什么要这样设计？
答：油缸不一定非要这么设计，这么设计的目地，一个是这种方法确实有增大承受內压的作用，再个是为了让大家一起来研究。
6 Y2 }( I: X6 L7 X% t# H问：实际有没有这种例子？
答：有，听说有两层套筒的油缸，也有两层套筒的炮筒。我们设为3层，是为了稍微增加点难度。其实还可以设为4层到10层，如果理论水平足够的话。

wozaicctv

这就是传说的数学建模吧。

乱影lyy

我是新手，提问一下
内径标了H6为什么还要标+0.022/0？？
H6不是已经表示出了公差带的位置（H）和宽度（6，然后按内径尺寸一查表就是到宽度多少了）了么？
如果要作过盈，就照着书上的推荐选型找个就好了, m5什么的？

桂花暗香

貌似高深的理论，用趣味数学表达出来-----------科普！

syxplc

天天跟油缸打交道，还真是没有接触到类似的问题。学习一下了，观望中

angel1399793

逍遥处士 发表于 2014-6-3 15:46
% x# [3 X7 u; z5 \4 W后生可畏！

没有手算，我就简单说一下我的思路吧。


3 C5 u3 O0 h' H; R因为是均匀的内压，故这个物理模型可以这样建立：
4 D8 g) W4 K0 L' `- k/ U! b8 T任一径向截面处法应力δF,δF由内压F/截面积δS求得，内压用微积分很容易算出，书上一大堆例题，截面积为钢桶剖开后截面面积（如图）
$ z8 h* `/ c1 `' |这样利用胡可定律，可以很容易求得线应变δl，这个应变就可以用作为钢桶直径的实际变化量了，
4 y! w' \" Z4 Z, N3 C- q4 v: E

3 R4 S0 G& M( h: U

SYZQ1991

最爱学术贴了

伟光

一个学科成熟的标志就是可以量化 拿电气专业为例子  麦克斯韦方程组 就是一组偏微分方程  喜欢看这样的帖子