内燃机曲轴连杆机构的推杆力臂曲线方程式---请教

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内燃机曲轴与活塞连杆机构的推杆力臂曲线方程式什么？
) y; V0 x+ u/ s8 H# O有一个问题请教各位内燃机行业的高手：
4 @) ?1 P( C2 F4 j' ^
& l+ Z* a; i) K4 D我想知道内燃机曲轴连杆机构的推杆力臂曲线方程式。
. ^9 C. i0 D6 z, H7 h& C本来简单的以为是一个正弦曲线，最大值是曲轴半径，仔细一想不对，因为推杆在上止点是直的，然后推动过程中就越来越倾斜，到曲轴转过90度时达到最大倾斜度。这时的力臂远没有曲轴半径那么大。假设推杆长度为2倍曲轴半径，那么在推到90度时，力臂只有二分之根号3，也就是近似0.866曲轴半径。
1 P% Z8 Z8 d/ N7 ?
7 I) I, l& w& g" `5 H  T: p( ?5 \所以我想知道这个力臂的曲线方程到底是什么？看看他到底啥样。如果能够得到一个更好的力臂曲线，岂不是更容易提升内燃机效率啊。

* \! n) S5 {) l. w7 u! {) v还有就是这种机构的机械效率到底多高呢？近百年来，肯定有人计算过吧，请高手给予指点。

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3 a( C' P/ G$ a8 `; ?0 j1 }) V/ B

: x: e. w! Y3 E5 O( S; I. }    看来没有人理。
* Y/ s! Y& T8 {; L" Z    我自己推导了一下，结果如下。
如图：

8 d8 Y6 H. u3 C* Y; K1 OL=ON=rcos(α),cos(α)=L/r
OM=r*cos(θ)
' D7 K6 B/ K3 p# T) tMP=r*sin(θ)
PM/PA=r*sin(θ)/l=cos(α+θ)
: e- ^7 ^1 A! T7 v% k继续=cos(α)cos(θ)-sin(α)sin(θ)
$ [, H" R9 K1 b- a* V" y6 ?继续=L/r*cosθ-（1-(cosα)^2)^0.5 * sinθ
4 [! m! e. i3 |/ B% E! {+ u0 r继续=L/r*cosθ-（1-(L/r)^2)^0.5 * sinθ
3 v( S/ O# Z7 `; k$ k6 n: X/ l即：r/l*sinθ=L/r*cosθ-（1-L^2/r^2)^0.5 * sinθ
求解得：L=r^2/l*sin(θ)*cos(θ)+-r*sin(θ)*((1-r^2/l^2)*sin^2(θ))^（1/2）
' k4 D- X& j$ V在推杆为半径4倍时，在大概76度达到最大力臂r。这时推杆垂直于推杆接触点半径。
* }9 Z- U2 o/ j9 e0 v根据这个方程式，画出力臂曲线图如下：
1 c( L. T  v2 U; e# _
这是一个非标准的正弦曲线。
1 q# n- m# Q9 I% u, U, ~需要再进一步对力臂方程式做一个积分，看看与x轴围成的面积有多大？
# e0 ~: s- x* }% g哪位微积分还行的朋友给积分一下吧。谢谢。

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5 K9 a9 S% A5 j3 Q$ M+ q
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# ^9 y6 L5 R0 D8 Q

8 F1 d* z. {. `- V    又继续计算了一下正弦变速凸轮的特性曲线。
也就是推动推杆按正弦变速规律往复运动的凸轮。反过来用推杆推动凸轮，就达到曲轴连杆效果了。
2 v8 p0 t5 ], F1 B$ C求出的凸轮曲线极坐标方程为：
r=R0+a*(1-cosθ）
1 G3 n, {! K' y$ @& g$ a% jR0为初始极半径，a为推杆速度系数。推杆速度公式为v=a*sin(θ).
% x5 g0 j' s$ G* V; d9 }凸轮根部与尖部的距离，去掉二倍初始半径之后，应该等于行程，根据公式，a取值L/2合理。
8 O9 @! ^8 h  G1 x8 \" f) r为了消除凸轮根部的凹陷，取R0等于二分之一行程L，弥补凸轮开始点的凹陷，函数曲线正好连续了。
6 @4 C5 k# p0 k, k% O2 T5 l/ r) OR0大于二分之一行程都可以是凸轮根部平滑。只是太大不合适。
这里R0为50，a为50。这个凸轮对应的行程是100，即a*2。
" c  |# a1 P! o- ?3 @' ^  Q
如图：

6 J' `" I! \/ s! s1 _" D
- o( A: J6 m% K' K用凸轮机构，推杆始终指向凸轮轴心。推杆凸轮接触点的法线到轴心的距离就是推动力臂。
- d" x! j7 k& T  v" K; Q" T这个力臂公式我求不出来了，请高手来求解一下吧。
& l; D2 O/ Q- {( O+ Z9 D求出之后，与曲轴机构的力臂公式对比一下，分别作一下积分，就应该能够得到那个力臂曲线更好了。呵呵。

机械神话

L=r^2/l*sin(θ)*cos(θ)+-r*sin(θ)*((1-r^2/l^2)*sin^2(θ))^（1/2）
0 _8 l' y- H& |6 t% Q% i5 ^' z
楼主，红色根号里面对不对？sin(θ)不到根号外面去了吗（蓝色）？有空晚上再来看看。这样写式子可读性很差。

机械神话

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) a/ }' E! z) g3 \4 ]4 i& \6 F非常感谢。
简单看来你这个结果不对。因为根号下的cosθ平方小于等于1，减去r平方和I平方，结果会小于0，而根号下的表达式是不能小于0的。
我核对一下哪里错了吧。
你的计算的符号写得真好。我一直不知道怎么在excel文档中写根号，还有那个平方上标小2。看来我得在word中试试。

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    我又算了一遍，机械神话的算法中最后根号下内容没有弄对。
我找了个mathtype公式编辑器。照着机械神话的样子做了一遍，贴在下面。
我原来的结果中，正如机械神话所说，根号下的内容也有问题。多了一道括号。
力臂曲线图是对的。按照没有括号的公式画的。
, b$ B: Y8 N2 z$ Q1 ~7 P) V3 h, s
再次感谢机械神话。
) {, X, ]+ |# p8 y$ v2 D; U& G
! {0 z" X+ @" t  ^/ e' @

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( x" }& b3 ?: j$ e) y' c7 y回复 7# 向左看齐
, B: J# D9 Y( o9 c4 Y
' }7 I4 s* U5 g& f( S$ b+ v& u) d
    后续哪位再帮忙把正弦变速凸轮的力臂曲线求出来呢？
先谢谢了。

我把正弦凸轮机构示意图放在这里吧：

机械神话

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你是对的，我根号里面算错了。这个积分不难，基本积分。问一下积分区间是多少?
( E! f2 c9 G" Q* q: u- l- B- H6 o
. W1 M) r# L# `- J7 i能说说物理意义吗？呵呵。

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积分区间 0 到 π 就行了。
物理意义我是这样理解的：
4 P5 z- a  M6 C! R5 b$ w6 z假设推杆推力不变，为F，推动力臂为L，那么，推动曲柄或凸轮的扭矩就应该是F*L。也就是力臂曲线在0到π做积分，也就是与x轴围成的面积，然后乘以F。
" x# v2 J; [- l  g/ l. G5 [哪个结果大，应该是哪个机构的效率更好了。
0 a4 i" T# j6 ^" J: M) {6 ^- m我感觉着应该是正弦凸轮更好。但是只求出了正弦变速凸轮的极坐标方程，力臂曲线没有求出来。
后续对力臂曲线的积分就更知道咋做了。呵呵。