请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题

easylife

如下面的俯视图，
, {- p1 W# X% ~
. N7 n1 O2 G0 b. K3 v- o: A% x3 v平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
几何尺寸如图中所示.
请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？

/ n& t  H: H, Y1 |/ _( ]$ r# Y

李赣

1、受力
7 |3 o' P& I) a% F) F2、力矩
平衡

easylife

1、受力
! J/ Y$ n9 Y8 o2、力矩
平衡
lit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51

/ T" A4 j& {3 U; [# p8 J
. Z5 q3 |% C, H/ ^& A' |不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
" w! t' R+ N) O谢谢

小白菜

可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。

李赣

把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。

草原蒙狼

楼主需要补补课  上述用平面汇交力系可解  授人与鱼不如授人与渔
1 B( P3 G! O+ Z
请看下面  力学教材

2.1 平面汇交力系
# Q" A6 ?, k4 |( E. }# ^; y$ }
平面汇交力系的工程实例：

! ^* i8 x' G  _/ L% Z4 D4 ~' X
. k8 \2 Y. A1 [5 X6 S( Z- S/ K
2.1.1 力的分解

按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；

; R6 a0 o+ M9 Q2 w6 Q但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。

2.1.2 力在坐标轴上的投影
8 l/ @0 p9 ^9 f

* A6 ~1 Y% m" @& S& u! B  l
" g9 T4 ~) |! k
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。


* x! l1 h, e" X/ c& l
8 V6 }% o8 Q+ P( {2.1.3合力投影定理

9 x& _4 r* G/ O- l$ O* E
, m7 m5 x* l: n
- L1 ~/ c+ C# q1 F9 _- x$ m0 l
# o5 I; O, J* ~3 o0 d4 j7 x- W

2 J# T6 h* U8 o- d  O& z% y
8 m: t, l- \" j( @. I; g

合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
# L: l) Q/ F: t( F# o# U5 a% Q, q
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即



8 a+ L0 ~8 \+ j! P3 v即


- [  K# ?: ^  B, P3 I
( o+ [2 H$ ^, ^# `% Z8 R. n* n
, n- H% W6 ^5 C( _力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

* ]5 }4 c- C. _7 J" @- ^例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
  I% f, ?, l' r8 \
) k" [* K; t$ h( @

/ ?6 G" V' y; U2 O例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。



* Q. B$ g4 n, z1 A( Q解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有

2 N8 G: X7 M: P# ]

: H. S" l9 v7 U  s2 X, k0 T& Q2 d解静力学平衡问题的一般方法和步骤：

7 d9 {' C  y$ B) k, i" M1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；

2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
5 _' k9 {$ z3 ], b6 @! o
3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。

在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
  D3 D; A/ L2 Q
2.2 力矩与平面力偶系

: V5 D. R, A# m- U- q0 e, U' A2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)
* [4 [' b% p1 E  {  W# ~, a) T
1.力对点之矩的概念
' [+ Q# k  c7 y. V
为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
  ]: M% L% Q- W/ @$ u


力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd

: V+ i, X- W# y7 c' k" }6 I一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
4 v7 s9 z' U1 @- d/ L% |
' y2 i' d+ j: r3 c8 G0 }

0 S5 S, S! c5 b5 wMo( F ) = ± 2△OAB

8 w4 H" \9 e- o力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。

1 N) H1 |  U' l矩心不同，力矩不同。

" I: [% y: g* R- `. w规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

  U" B0 M) I  V% z# M力矩的单位是Nmm。

1 E5 a4 d: M$ M+ `% Y( E由力矩的定义可知：
7 w6 B8 z& s' `; _3 d, C* G
2 X/ F2 h9 f  M* N: b  a（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

3 H; C: e  W  n* s. \（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
: ~8 I- C1 ]5 T8 ]+ R: N( ?/ z
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
5 M+ ^% K1 L( [, o* v5 t9 q
$ i: w  s/ J& k3 n6 y2.合力矩定理
  ]1 u/ e) g8 Z. k$ F$ D; }# M+ W. Q3 T
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。


9 {' `: Z) j# l& [* j- o8 D4 Q; O# @
! T' z; I+ P  d6 n6 M+ M0 M计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
( N: V3 N3 R# n$ d! q; F  T( V
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

Mo(F2)=F2yl
0 c: S( l, Y# A& }& M( T  `' l
6 L5 Q: J4 I6 r7 r1 {- p6 [Mo(Fn)=Fnyl

5 p3 p; f+ E# ~: y* M由上图可以看出，合力F对O点的矩为
' X+ e' Y6 b# Q  y5 l# X+ B
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl

据合力投影定理，有

# N, x, k6 \) lFy=F1y+F2y+---+Fny

9 y# x7 m7 Y+ O( v# {: ]6 MFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl

即

$ y! F, ~( i# d: q* XMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
1 x8 y* X* @+ t


3 U& g8 _! H  e  ]& n合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
1 g' Z, q1 R- q0 I6 w# O$ q. i
2 {; i2 ~; r" ]: ^（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。

注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
& V, F/ E9 m' ?0 k
3 _6 O5 H3 J$ i# o8 h0 j" X) Z（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
5 r4 J- h0 m; k, ~& U' w
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。
4 |$ n1 n$ }7 M, R/ f" }* ]


% K2 G% J+ v1 z) e! R3 R解 （1）利用力矩的定义进行求解
& G& [5 \  r, W% q' k3 d0 ^


如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有

6 m: f. v2 W+ d: \5 G8 l7 }2 d
% m7 C  F0 j1 Y$ f3 g" |
8 }' ~! q3 [0 }$ a（2）利用合力矩定理求解

& A* ~' w4 f2 I将力F分解成一对正交的分力



力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
' \: v2 b0 M* r3 @  ~
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)

2.2.2力偶及其性质
) p2 c. \" g- G, d5 ?- c7 D
1.力偶的定义

9 B3 O- i2 V& b8 c1 i) m$ u在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。

2 a! n+ [' [1 i2 [/ w, S3 S# x
* V9 `( ~1 P' E) Q6 d9 T
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
) t1 `/ m) Q0 q; A
力偶作用面——两个力所在的平面
, g6 i; h8 g; r8 G7 s
1 d0 E( ]$ R( P  r) h力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d

力偶的转向——力偶使物体转动的方向

力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？

力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
/ E, |# X: ~. K5 S# I1 P
; H3 C" c! P  u# k7 L+ p$ [/ G设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为



+ m8 s( R' D: N8 uMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
4 A+ X! V* S9 J3 ]
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）

力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M

M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
- O' r( w( T2 H, L2 B
" J8 M* E1 \  ?5 J- ?$ A力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。

Mo(F) = ± Fd
+ J: O+ b# o3 w: r7 G2 `9 E' @  k+ d0 ~
& K1 D4 N, K2 W2 {力偶的三要素——大小、转向和作用平面
4 M! u1 Z. f" y1 k. _, s; j0 ^4 N, u
0 _* q/ h. X, z/ n" {: P. J6 H& l2.力偶的性质
$ p3 ^- v$ ^* A$ F! r9 F! f6 q
- n7 X# g: b& I4 ], U4 Z（1）力偶无合力。

力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
$ m1 h3 S0 _7 j# X) K$ k
' A4 F) A0 B: d# l" L, N0 ~, f可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。

9 o0 u' {1 q5 ^（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
  r, ?, c+ x* D/ T& v
+ K, E. s0 ~5 d力偶的等效条件：
$ I$ u8 D% D5 [
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。

' h# \% G$ \: Z6 ~2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。

2.2.3平面力偶系的合成与平衡

( a3 y5 U- o8 \0 X6 s# D平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
( V' v/ J/ b& s- |4 Z- ~( j9 c9 b0 L* x
1.平面力偶系的合成
2 |* a) K. e0 f0 ^/ b
例 两个力偶的合成
! T8 L- h3 K* V7 z5 L

M=M1+M2+---+Mn
6 i) h, g; O$ V0 ^8 l
- P5 G* g4 f4 `  E% I  @
- f) M2 _7 K1 H5 N————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

9 k: Y2 X- t3 `, _$ `2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
. @1 F/ l- B( I. w' n: l2 G+ {
" g+ H  g% Y- h, p例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。


/ S2 D+ X5 C4 _* W+ i
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
8 {' x; j# e% K+ H
. D# S3 k% x# `( i: E7 `FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
; V8 u3 y  ~% V. x5 t% P
（2）列平衡方程
* a4 v1 H8 V: y
   
/ H5 S( A0 p* F9 |
. j  o; T+ ]* k. C* r2.3 平面一般力系

4 P% R, R- {/ n/ c3 R7 I$ O% ]4 F平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。

8 V* u" j( M# Y/ R  E2 \% n) w
: W7 @5 g2 d1 E" Z
上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
3 V$ O4 T0 q" X
2.3.1平面一般力系的简化
  U; k, {+ s( e1 |8 `1 k
1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。

) ?4 o1 C4 W5 E' e3 ^8 P问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
, f0 s# z  q7 d, \( ~. p
/ }/ H% u$ _, W- X% Y7 X将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，


0 d) w5 u( }- s+ S6 Q9 {
0 _8 Z4 }! `1 X4 A, i附加力偶，其力偶矩为

: l9 m* K. y2 t& }M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。

2 K! s* C" `% R3 M于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。

1 q. d6 h! l8 v7 ?0 J0 p. c$ R力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。

, T- K8 Q5 W" Y; l2 @" a根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

' H; r7 v& a7 ?6 h* t: J# |) D
; n1 i# m$ \, v$ b9 C, r5 o2.平面一般力系向平面内任意一点的简化



+ ~; ?: ~  y) O. k$ S2 V
α——主矢与x轴的夹角

( N# L6 v8 v4 }8 X, J5 ]- F" Z2 hMo——平面一般力系的主矩

0 ?) a% o" c* O% w. n4 k0 [0 T! h主矩=各附加力偶矩的代数和。
% o2 B1 W7 Z* E( M0 G+ E: X
" R) D; Y4 x- U, H7 \（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）

  B, O$ q& l& ]* }! f$ ]Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
& G2 T$ ~2 N. ?) ^5 O
平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，

) H/ {4 y$ G1 X  @; B    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
3 w, _  M/ p3 c+ E8 U
- _4 T' K/ {. p8 F  B    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
) n: R' ?$ D( |
3. 简化结果分析
! u2 Y3 L" [# J# G4 d
+ t  g) w2 _# ^  Y; @3 u    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

4 Q8 ^5 o% b0 g* TF'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0
& Q8 ~* W7 d  G
3 ?% Z* x! }% ]2 T8 H; t0 X4 \F'R ≠0, M o ≠0
) x9 Y' D( G3 f" z: x  [  t
4 v8 F" \7 N# Z& _F'R=0, M o =0(力系平衡)
% U5 w8 \9 k8 M" }, x: ~# p1 z
2.3.2 平面一般力系的平衡
: ^6 h, o9 M; F
- p6 w1 l) H9 f/ C+ u% t% l1.平面一般力系的平衡条件
3 z$ R# o- g# S  ^. n% q
平面一般力系平衡的必要与充分条件为：


7 Z# U1 y# a. r7 p0 e
  

2.平面平行力系的平衡条件
5 y7 ~* O( N- m& W
平面平行力系的平衡方程为
/ j& i: i. V; J+ P7 K# g3 L. L& U
5 p9 D1 @/ U; Y. |

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

% B' F/ K9 q% e* C% |" e" \例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。



! ?0 `0 ^6 y  k, C4 E解：取起重机为研究对象。
( e- l/ Q6 D* O
是一平面平行力系
4 D5 B, g# ^& R4 f2 t
3.物体系统的平衡条件
3 h: X8 y- i! A8 d
物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。
8 x" b0 N1 C  O* h! r+ c+ Q
    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n
# ]0 @8 f5 @) z+ L
物系外力——系统外部物体对系统的作用力
* d. t  c! H8 f  e8 `1 s* d
物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

草原蒙狼

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3 z! d  E- W1 P1 U( s0 `8 A
8 O' o' ?0 {& ~) n4 [, l' z

2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：

4 O3 S: @" Y# g) {) I7 |( X2.1.1 力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
" t1 o( F7 o9 F) j* D2 Q但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影
# O3 O2 @6 N4 G0 c% d" g
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。

4 t! L, H) D7 ^5 D) F9 R, K2.1.3合力投影定理
$ P( f7 D; N6 J& m- n1 J

0 s# d% |/ i2 r/ c

合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
) K% W/ F, q8 w0 e9 L. J  i. k2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即

即

力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
5 X' L, Q6 T( I9 g8 m/ h7 c
例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
# ?3 S( N# `  G* j+ y
7 H: o5 V$ h1 p# R3 v$ Z( u: }3 }解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
: d* M* O- [) z% ~$ b: H
解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
& n$ l2 K1 ~6 h+ K1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
6 T4 ~2 i, {/ C$ q& |3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
2 F: t* ?8 e3 S. W0 H" k2 k

2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

( Y/ D' p8 {$ z8 _: g力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
8 `% h$ h5 V* |- S0 n4 y3 N4 }
Mo( F ) = ± 2△OAB
+ G  K8 {3 L6 z9 C: V( ?# Y力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
& u5 t1 F' ^# P( C4 b矩心不同，力矩不同。
, j0 E' ?) T8 _9 P规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
, p$ e6 H- r, Q! V  q6 F$ }力矩的单位是Nmm。
, ^+ e/ u! g) _2 r由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
. P9 K1 w# U, D. T（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
$ F8 q- I* ]: U  ], ]力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
3 o7 G! n% ?8 T* ^) y2.合力矩定理
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
Mo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
由上图可以看出，合力F对O点的矩为
, X. [; d4 A+ A5 k; ]$ g# uMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
2 W8 o; a2 \: m' R据合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
2 i( y: W# T" Q9 h( c9 d8 s9 [Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
3 h- H& p; E. B7 o( \1 B1 O  SMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
0 W! h1 u, V* P
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
* D" E$ f3 L: s2 a3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
, ]8 A4 s3 w' V（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。
" b4 X! h4 e0 U$ g) v; N% l+ L
解 （1）利用力矩的定义进行求解
$ g3 ]+ }5 W3 O* [; r& k& z
5 o6 Z' X# ], }, \' n如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有

  ?- _$ j/ l: s5 |# I$ u6 L+ D（2）利用合力矩定理求解
将力F分解成一对正交的分力
8 l9 \' S. C: j/ u7 r9 h
力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
3 m4 D+ o% B3 W' i! d2.2.2力偶及其性质
1.力偶的定义
' T. d2 N  V9 Z7 J4 Y7 y) m在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
* C) q0 h+ k: [0 j  O- D8 d% U
/ M7 Y) L6 l" N$ o力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
力偶作用面——两个力所在的平面
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
* [2 M: {- I* c! d# H力偶的转向——力偶使物体转动的方向
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
6 ~/ w' K  u% F; q  c力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
% R) a/ S( d- i6 h
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
. E  o( n% q1 {! ~# R力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
Mo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、转向和作用平面
# Q& e2 `3 u4 j# S; x2.力偶的性质
9 A4 {: y$ Z0 ~6 s' e/ T（1）力偶无合力。
力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
# K8 p- W& Q5 g; ]5 L可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
; ~* g" g$ I" `* z! j7 u5 E6 e# x) C（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
力偶的等效条件：
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
( ?3 f. H1 _! E' ?  G3 w; L$ E8 C5 a2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
2.2.3平面力偶系的合成与平衡
! T6 [8 m2 B/ n3 i  Z. a平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
1.平面力偶系的合成
5 d" y9 z0 N- z/ @& i! o: Y例 两个力偶的合成

M=M1+M2+---+Mn $ o+ @+ o5 }, @, W

————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
; F# ?3 o6 `# {5 e
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
4 r6 L  q- ^4 |$ d6 b9 c+ yFA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
( ]9 n' J9 P3 x7 q/ I% [
2 d( L! i- A- X+ G7 D上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
% O$ J+ ?- D1 T# F, L+ r1 P& B  d$ _2.3.1平面一般力系的简化
& f+ p$ r, }! D% F0 O% Y1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
& ~* I0 D9 F. M$ w$ |问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
3 v. A6 Z3 F' S0 N$ Y2 I
! c0 m6 \7 {0 a4 y0 {4 a附加力偶，其力偶矩为
) W3 W+ w  y- M7 u4 SM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
9 p4 L+ n: E( ~# Z& r上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
0 M4 T/ v) E0 ~% n. G* c于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

  t, h7 p; h% m8 G5 n2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
$ s+ I- f  p# U  @5 C
% w2 K. h3 ?/ K- xα——主矢与x轴的夹角
( o  L# c; M0 d7 |* R& FMo——平面一般力系的主矩
9 X- N3 P$ b; x' i% Z* d主矩=各附加力偶矩的代数和。
- l. A- u( d. d; ?, O! I) B- m（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
- n& D' F6 I5 Y: n平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
  h; e4 _! _- x) C( H; P0 A

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析

    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：

+ B0 [" ?7 x. T) M5 e# _2.平面平行力系的平衡条件
- G8 T( B; m8 Y3 p5 ]% c4 E4 I) P平面平行力系的平衡方程为
2 Y/ g% Z6 n* l- k

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。

# ]7 E4 C+ ?; g7 i7 F解：取起重机为研究对象。
是一平面平行力系
2 X' B& b* |3 W

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

无能

依图为空间平行力系，其平衡条件是：
: d' ]# M1 b0 a" KP1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
' N% ?: H9 j# Q" DWD=(P1+P2)C
- P7 t& Q: @  j6 w9 C3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
# ?3 b2 E! A( [( |) S  [对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
0 Y# d) w/ n9 c  Q0 ?+ U2 o' t+ h6 R佩服.......無言!!