已知面角，如何求欧拉角，机器人坐标变换怎么求？

水水5

DaedraMech 发表于 2025-7-28 14:23
. x" P# s9 c* w  \  [一般对算法这边来说最直接的就是拿到变换矩阵了，不知道为什么还要舍近求远获得欧拉角，不过楼主需要的话 ...

感谢层主，膜拜
' E7 L' W! t. k7 K- s' n
我一定把它付诸实践
% N$ _. ~2 x* a$ c
我又搜索了一些其他的方法，再次请楼主给于指导。一些方法贴入后面的回复。
3 Z: Q' L( h, m1 p/ G: ~

水水5

方法一 本文转载自简书，作者是梁间。表示感谢
- x2 s" W5 b* l+ _4 {数学模型已知两个坐标系在各方向上尺度缩放比例一致，两个坐标系的转换关系可以用7个参数来表示，3个旋转参数，3个平移参数，1个比例参数。已知三点在A、B两个坐标系中的坐标，那么这7个参数可以唯一确定。
坐标转换的数学模型为：
& T; j( d% c  M+ D: b" W
3 c- N7 Z# s% y# P# A其中，λ是比例参数，R是旋转矩阵，Δ是平移向量，A、B分别是两个坐标系中的坐标。
比例参数λ最容易计算
0 |4 I+ M+ |$ X+ a% }; @
其中 为两点在A坐标系中的距离。
+ ~  r1 x8 k% J, |旋转矩阵R是一个3x3的正交矩阵，有3个自由度。可利用反对称矩阵S来构造旋转矩阵R：
. j; @& M. [3 p  ]6 c
那么
! v4 z: e. W) `) V; x
, g* _4 Q& i) n& A% y" u$ p其中I是单位矩阵，这里R只有a、b、c三个变量，解出a、b、c即可确定旋转矩阵R。
把两点带入(1)式并相减消去ΔX、ΔY、ΔZ
# F2 Q$ @: `1 J9 X
这里为点在A坐标系X轴向坐标值，为已知量。我们简化一下写法设定：
0 d4 ^+ x& V: L( G; l8 {! C
这样(3)式可写为
/ d$ o& D0 {# S  E
把(2)式带入(4)
5 w$ o+ e9 {8 C9 x# u  E% L
带入S

展开

整理可得
5 o& V7 I% A$ B
(5)式只有两个独立方程，解不出a、b、c三个未知量。带入点得到和(5)式类似的方程组，两个方程组联立，取3个独立方程


可结出
6 v6 t4 v$ i9 h* @
把a、b、c带入(2)式可到旋转矩阵R，把任意一点坐标带入(1)式可得Δ。

2 q$ ~7 `  d3 f; H3 X* {* f

作者：梁间
链接：https://www.jianshu.com/p/58cf5655f9a9
4 |6 h. _( E) c来源：简书
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

+ g& F9 d% y  S! ^/ I

水水5

方法二，这里提到了SVD算法

通过实际的坐标点例子，来直观解释通过SVD求对应的坐标系关系。

已知四个点在坐标系A中的坐标为：

（0， 0， 0）; （1，0，0）; （1，1，0）; （0，1，0）

可得矩阵A为

8 ]1 u8 z& X# C! j2 O
$ V6 a5 F+ A( K0 }矩阵A

这四个点在坐标系B中的坐标为：

（2，2， 2）; （3，2，2）; （3，3，2）; （2，3，2）

可得矩阵B为

矩阵B步骤一：求两个数据集的质心

根据上述公式，可得质心为

步骤二：将两个数据集的质心移动至同一个点，即只存在于一个旋转的转换关系。

对应坐标系中的点同时减去质心，计算后的矩阵A和B分别为

8 P! o9 m8 N- X; ~) l$ G# |* t计算后的矩阵A
# f" @9 K7 P3 u' _
3 ]1 t# c$ p7 G% n' `: u计算后的矩阵B

备注：此处的矩阵A和矩阵B一样，因为举得例子较为特殊，只存在平移关系。计算过程通用。

步骤三：通过SVD算法计算旋转和平移关系。

定义一个3X3的矩阵，将矩阵A的每一行数据与矩阵B进行点乘，会产生四组3X3的矩阵，将这四组数据求和，得到最终的3X3的矩阵，就是我们需要用SVD算法来进行奇异值分解的矩阵H。

上述公式中，颜色相同的框内数据进行点乘，构成3X3的矩阵a1,a2,a3,a4。

矩阵H = a1 + a2 + a3 + a4。计算结果如下

通过SVD算法分解该矩阵，这里直接通过MATLAB接口调用，具体原理在前面的章节中已描述。

步骤四：计算旋转和平移关系

根据上述求出的u1和v1，可求得旋转矩阵R为将该旋转矩阵转为欧拉角则Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0。

根据公式

得平移矩阵为

总结：如果在实际项目中，需要获取多台设备间的关系，如机器人相对于产品间的关系，或者机床相对于产品的关系，则该方法较为实用。注意：在实际的选择参考点时，不要在一条线上选点。如上述选的四个点，要求不能共线。要不然会减少有效数据。

! }6 O" R* c# \" X; c

DaedraMech

3 \6 E! R  T6 g; S: }" B- ~: H8 e$ o
5 G" v5 f6 n8 n: f' k& B没想到水水大侠对此问题如此孜孜以求，钻研精神和信息获取能力令小弟佩服，我比较功利，方法能解决问题就行。
" \8 I3 }% i' r9 L" I* I
. X8 Z, @1 @/ o我把之前回复中的齐次变换矩阵改一下符号，楼主可以对比下和文章中的表达方式是不是一回事：

  Z2 K! x- ?4 `  I/ b3 l
4 U; P4 k- }8 J0 E平移、旋转、缩放这类坐标变换我们统称为线性变换。平移和缩放非常简单，没什么好说的，重点就是如何求得旋转矩阵R，上述两种方法就是通过纯代数的方法求解R。
你用什么方法和选择的工具有关，上述两种方法多用在图像处理和机器学习中，算法工程师手里的工具是集成编程环境，是代码，采用代数方法自然是比较直接的。但要知道矩阵可是联系代数和几何的桥梁啊，而我们则掌握了强大的几何工具SW，利用【旋转矩阵可以表示坐标系】这一几何意义我们可以直接得到R，完全不需要上面繁琐的运算。

水水5

- y1 b# ?, o/ j( {* K

DaedraMech 发表于 2025-7-29 20:37
  ?8 L: E" A0 n没想到水水大侠对此问题如此孜孜以求，钻研精神和信息获取能力令小弟佩服，我比较功利，方法能解决问题就行 ...

4 N4 l$ I$ F4 J. \8 `) I' r  L感谢大侠的持续教诲。大侠如果有，从变换矩阵导出欧拉角，的计算公式，恭请再给明示下。

经过又一个周末的摸索和学习，我已经学到了旋转矩阵的测量方法，并且通过计算一个点的坐标在两个坐标系中的坐标值进行了验证。

- X( D+ o* y( s4 U5 X7 d+ L这是第一步，下一步是求欧拉角。

/ T% @$ ]* I$ c# |我最终的目的是：
5 ?/ I7 ?2 r% c- h+ I6 P# Z6 A3 O% T“在机器人示教工具坐标系的时候，不需要再繁琐的用6点法搞一个小时示教，而是我作为机械工程师，可以直接从三维中计算出，通过计算，直接可以提供XYZABC的数值”

但是这里面有个难题，我不知道机器人工具坐标系参数他是采用的哪种形式的欧拉角
下图是我的作业
/ N% G$ m8 r1 h! i' s) K

DaedraMech

% L2 s, E2 e( r. K+ U# R
欧拉角其实也不难求出，就是麻烦点。
5 S9 d; K9 p9 \1 G
假设你手上的示教器里面欧拉角就是按照常规的Roll-Pitch-Yaw顺序（ZYX顺序）定义的，那我们不妨把单独绕Z、Y、X轴的旋转矩阵从左到右依次乘起来，看看最终的旋转矩阵里各个元素的表达式都是啥。

从上面的结果可以看出，通过对矩阵中特定元素之间的运算，我们是能够分离出绕特定坐标轴的转角的，即：

如果不知道示教器中欧拉角是如何定义的（并且上述顺序错误的话），就需要再交换单轴旋转矩阵的乘法顺序，获得新的表达式再次实验。（也可以直接在示教器上输入角度看机械臂到底先绕哪个轴旋转）

& X) b% U9 F2 a2 L另外可以想象到，空间中一定存在某个轴，能够让坐标系一步到位，直接一次旋转到最终位置，而这就要用到四元数。所以如果示教器还支持四元数输入的话，也可以将旋转矩阵转化为四元数：

四元数中xyz表示了转轴的方向，w表示了绕这个轴的转角，其值为转角的半角余弦值。

, o# W/ v  N7 _7 \1 f/ v% S

水水5

DaedraMech 发表于 2025-8-6 20:03
+ @0 m8 S$ {- H3 H, a' p8 f欧拉角其实也不难求出，就是麻烦点。
; ]/ \9 }3 T: f; Z
假设你手上的示教器里面欧拉角就是按照常规的Roll-Pitch-Yaw顺序（ZY ...

2 C9 Z! b4 w/ O1 n' [感谢大侠的热情回复。汇报下进展：

0 P8 R; ~( J9 V: f! @4 F6 R首先证明了旋转矩阵是对的，第一步已经完成，
第二步，我找了那些计算欧拉角和四元数的公式，公式应该是没错的。虽然欧拉角的解不唯一，但是四元数是唯一解。经过比对，还是和示教器中的数值有一定的差距。
$ v* S' ?: }' ~: i/ A
, `4 z* h5 N0 j/ f! J. r- w7 U经过分析，机械安装有一定的误差，手爪又这么长。所以至少证明了理论计算是正确的。但是实际应用，还是要修正。免不了还是要示教一下。
第三步，通过咨询得到 欧拉角的旋转方式。还未进一步计算，等下次有机会了再实验。

) u7 z& ^  ]4 p* j1 [; C$ E这是FANUC对坐标系欧拉角的描述，市面上绝大多数机器人，都是遵循固定坐标系XYZ这样的一个旋转顺序。
. y+ O) o$ S1 G8 e- I  e
上士闻道，勤而行之；中士闻道；若存若亡；下士闻道，大笑之。不笑不足以为道。
感谢各位的技术支持，感谢论坛。

水水5

DaedraMech 发表于 2025-8-6 20:03
6 r" D7 g$ t& z- ~  l欧拉角其实也不难求出，就是麻烦点。
' `; z6 N' c: X& ?) b' E
假设你手上的示教器里面欧拉角就是按照常规的Roll-Pitch-Yaw顺序（ZY ...

8 X- [* d* U+ S3 ~, B大侠有没有 mathcad 教程 源文件？
) v% O+ c% Q8 [9 ]" W7 G
) l/ U7 c( J2 o4 v您给出的公式的求解，还是有点一知半解。数学没学好，尴尬

ckc521

欧拉角旋转很简单的,不管是什么顺规的旋转,都可以用基本旋转矩阵推导出来,但是欧拉角的万向锁问题很烦人,虽然有算法可以解决.

qqqabcw

提供一种思路：在一个统一的坐标系下，执行器、工件目标平面都提取一个平面法向向量，把他们弄成平行的（调整机器人的角度），最后就是平移。不难就是有点烧脑