请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

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6 n3 w. T# i3 v& F$ f/ r; T

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

  [5 ?2 L6 i4 |
对于等速运动用运动学基本公式，可以推出
* ~6 R* P, Z) Y
, p- ~" P+ `$ s4 V3 u5 o
但是对于等加速度运动的描述
; ~+ O& \$ n$ f
却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
0 t1 h' p" m% q" w0 f无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

8 K/ L* Z+ G! |6 b2 m3 H大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
还请大侠帮忙解惑？
5 p: ?3 V5 a; U, l

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
. U3 V( l# @$ a大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大 ...

6 E+ f- i8 o/ S我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。
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luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
3 {% R  {+ r- i/ R那还请教hoot6335 大 ...

( z! y+ ~: x; p  H/ B/ u
5 ^6 D$ x; ^5 Z2 c5 A7 N大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
3 a6 {4 z/ i& O6 m; Z. C& w4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
9 p6 i: T6 e4 y/ o+ y5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。
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回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
0 S+ P& @5 R8 N$ R. _1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
5 l2 Z5 ]# f& a2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
5 R' ^$ R' G) b; i) k" S                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
: J! q/ X: q7 v% s% ^7 @+ P                                           a=2*C2*w^2
' ?6 F* c, Y+ d- T5 [4 T, n7 |  B4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
                       加速段边界条件：
                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
! @  u9 d+ f% Y7 f( u5 C: }' s0 _                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
- w  K! ^  w" `' }) v0 t9 R4 F- \                        减速段边界条件：
0 b8 a0 r7 s: a( _                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0
0 v/ J8 T* w# q8 V1 O
5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
                        加速段：
9 R+ s8 @" T3 [/ k6 @( B2 O                             s=2*h*(δ/δ0)^2
/ a' F+ ]5 ]/ S3 n0 u                             v=4*h*w*δ/δ0^2
1 G: ]- g! B7 @1 i7 |5 Q) R  ^! p                             a=4*h*(w/δ0)^2
                        减速段：
" F" {$ P: F3 ^$ \: P                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
) F; Y6 l1 r% _                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
- [9 X  r) J/ p                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
$ r* J5 N1 ?9 `6 w8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
                        T=t/th   
                        S=s/h   
9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
                     加速度段：
                              S*h=2*h*T^2
$ r; Q1 p. C: j; [8 \      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
, H: ]; {) M- d' D7 m                             无量纲 V=4*T
                             无量纲 A=4
12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
2 ~9 G$ E6 K- l2 v     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
. b4 K! J2 U, q" q( G! x14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
! [9 @+ f* O6 a' h6 _     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
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luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
, N  J+ U( ]/ V5 F2 N7 F/ f经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
" V) H/ Q- q; t米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
" k& f4 `0 u% y9 K2 \看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
8 C9 V  i* |7 l( O# H" [; ^8 H8 a2 Y角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
. G/ Q3 d3 h8 m我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。