本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
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% I! K8 r3 n6 P( H {这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。$ W' P2 _3 i& U3 V/ p( t6 c$ V
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。% {5 K6 X( ^$ K
生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。. `/ t9 Y7 h, P9 }+ r1 i
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首先，简单说下杠杆原理。如图。
; k2 o# ?8 e+ q' R; E8 u% X ( \0 t: h- V) W; O
杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。
, C. n' e6 Z. t- @那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。
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' X: Y2 A9 m; h! B! w5 ]6 h( _) |* Q我们来说正题，杆秤。
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分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。, X6 ] s/ \& }& _6 k
1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。
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6 y7 T% [6 M' H" v/ i2 Q. \
' N- E9 ~7 R& f; b
由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
. \( @& j8 b5 S; H 推论：G1*l1=G2*l2……(4); 3 M# j" |$ P) k: B
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。
6 H1 s& h/ D4 C) F8 c" v
! \6 c5 c8 Z+ A1 N( c) w3 m分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6);
2 r0 e P+ A& q5 h$ v1 g+ u% d7 g M左=M右 ……(3)
G. Z& X ?! Z0 i; t 推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7);
& Z# V n) P; Q8 R# s7 C 联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2; ^' V- ]1 I( E
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。* @. p: H7 X! i7 |5 W
如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。
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4 h4 J4 e! \; r. ]6 [8 b7 b2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）0 S+ O, k& J6 g( R( ?5 z
同样，按照之前的方法分析。
; t4 C( z& k* {' y. D1 z水平态：
$ E1 D8 E: }* U5 M+ g) f) H5 T
! X: r% U; J- R6 k) q0 D M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3)
9 ?4 E# @/ i1 c9 e, O: s/ [ 推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); ' [; Z1 e! n1 A8 ^( ^1 S
因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
, d; n1 p9 h- K
, e: u/ `, ~# B1 U- Z- R对于非水平态：
* | O5 T1 j9 J4 [# N
; O) W0 F0 x/ b& q4 T7 g, {9 V M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12);
; D6 {0 C& {( K: p7 U M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3)
7 ^: f' A) Q, g/ ]/ k 联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
- A$ z( a# o+ T' F: ]8 f$ L4 p 结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
" e! y3 U% D- V$ w5 A( X 即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！
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( Q' g! e% `2 M* T! i$ o- _0 v以上，希望大家喜欢。5 \* B: L0 Z) |% g1 x1 l7 l
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PS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
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