本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
+ O* Q+ S2 M' R( r. j5 v% o0 ]& Q" g4 y1 ]
这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。# p! M7 E+ w4 S& R& R
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。" f# e: Y3 L7 u) z( W
生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。9 H$ q# H% ~5 Y5 h5 @9 m
& I0 @! |; n0 a首先，简单说下杠杆原理。如图。
4 W- R' [ u/ P. V3 T. M 1 V, V0 S2 m7 a& r
杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。* O- j2 I2 j4 U1 A, R9 {
那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。
0 L& [& G6 r# N& u% j3 i* k( y+ D, s0 s
我们来说正题，杆秤。) t6 P! O3 L1 ?* E
6 z$ { u% y9 v+ O: v/ Z
分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。( B$ k$ [3 m( s! x2 D# V
1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。' r- {8 F: X7 u
5 ?$ Y2 \3 M3 i2 W; W1 b1 H
5 B1 d0 y/ |. {, \3 \" u% r 由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3) / ]4 k, H5 B) K! Q: v q
推论：G1*l1=G2*l2……(4);
/ P$ d( I; g @* B/ v但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。
$ ]$ c' D+ U }1 V
; Z% v6 ?$ T. `! B8 `( C分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6); ) m# ]5 A7 z* {3 K, n& ?
M左=M右 ……(3); H3 `1 x% X2 R \+ g& c, C
推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); 4 b' v. ], C! z
联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2
- F+ _ Y8 W3 T9 c" B 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。
6 `/ \$ t. n/ {! h% X+ F$ c如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。3 v7 ~3 ]. |+ E8 I# W5 v& M
3 @* v0 v$ V: p) N2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）' z% f& s3 O. Y2 k% y, R& e+ a s
同样，按照之前的方法分析。
1 A" V$ {" b9 |0 X2 e水平态：! K2 q; \+ f9 G" f
$ i: {5 a4 O3 f6 Y M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3)
' @6 F* g& J$ Y2 m, o: C 推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10);
( e) u" W& S# s* B" X4 { 因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
, ~8 }2 c! P0 m& w; F* E: C
: Y# j! @# [' O; p7 ^8 M M( Q2 {7 f对于非水平态：
% r5 O" L% R+ r: W/ Y5 Z ! G- O. N1 ?" `; @2 l2 ~3 N& j$ A
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); ) N8 L; B9 Z# K
M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3)
- j1 G& o% Y# k6 E& d 联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
8 g @. w. ?' k( t, P$ \0 O! y 结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2. w! v0 Z6 [6 W* o. R
即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！, C6 t. ~& e) `% C! e! o
R0 P: w2 J. g3 w4 g以上，希望大家喜欢。+ L1 A" L7 _) E
" ?3 ?/ N4 ]7 l7 a4 RPS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
