本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
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这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。
# ^$ E3 l$ u) t, Y; u* `0 H好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。3 c8 Q; m& o x0 z# Q/ S9 x% P
生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。( K$ f. {3 ^& W
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首先，简单说下杠杆原理。如图。6 B: I4 Y+ F1 \$ I% }
0 M, }% g+ I! h杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。- s% P7 R/ M5 |
那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。; Y& h3 o, s0 w. ~1 g/ b0 @/ ?3 j4 d
+ i. _. `: f0 \
我们来说正题，杆秤。, Z+ u$ T/ h; l f: \
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分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。
5 T" X0 b* y$ K2 U+ u, Z) M' A1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。
6 v2 s# y8 ?$ s( q
$ F; @( P6 v8 A) h, ]
( k& l- x+ ]( \4 S
由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
' x9 A9 h7 w& i" h0 e 推论：G1*l1=G2*l2……(4); 6 m& |0 x( P+ _% I) o; @
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。/ m/ | r4 {2 A; j3 \7 s+ a
7 \7 m. k& L# `# L# }( [
分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6);
; P Q3 ?) P) m, u" c# l2 E' e. O M左=M右 ……(3)
% X3 k: F5 ?6 m& v3 Y2 H 推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); 4 D. {% I H( |1 b( u- h) L" V
联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2) M# q8 K6 S; S9 U* t
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。
' p1 D0 B( { G* [如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。
! w0 L, W1 f& V8 {. N( A
/ ^' Y9 I* V# Y' c9 M& H2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
% K o/ Y9 _$ ~# a8 `同样，按照之前的方法分析。$ b, F; L3 v; {4 n6 m" K
水平态：
+ \+ T0 i# Z( }& w
' V. w( k4 U/ m7 f M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3) / |' {. [3 j1 L/ e0 a/ ~
推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); 4 ? O% R8 x/ l4 i$ j
因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
4 M7 T% H* N; d5 n- P, U6 W6 E: g( p4 X7 t% [" F t7 \
对于非水平态：
- B* A, H g. |# m/ g0 X" X Y( |+ h8 z* {
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); 2 d9 X! x' | n
M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3)
1 d+ V) H3 k1 ]; ^! z+ H( j 联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
x6 G5 Q, }2 t o3 v 结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
: n4 e' [; L; ~2 g1 F3 F0 T 即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！0 `- Z! {/ e& T' c# u& G q @- X
3 H; [% N! q7 L' Q- B9 y以上，希望大家喜欢。4 \# ^) u5 t2 g
% n* O: A$ g APS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
