本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
* @6 X( j$ {. \+ n8 }4 ]% d1 T- V3 H% W/ h$ D5 F7 N7 v+ m
这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。3 m- T6 N9 `3 Z, l
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。) {/ w# S5 |/ K& G2 [6 f0 `
生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。
4 p0 P$ s- w# U& d, o2 h& Q/ ^6 d" _% }; ]
首先，简单说下杠杆原理。如图。2 @9 v% i: i, D4 D
/ \+ T" \( _1 a0 D9 G, e3 s% Q杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。
% A) p( B! H0 W. T, c+ ?+ U5 X. F5 u那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。, B& K' I9 F- Z/ d1 K
$ j! Y9 D: }6 @我们来说正题，杆秤。
! u2 C% n$ k% J' j3 B0 u6 d; U3 R% b) O! m0 n
分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。
$ L) D V# j: l' q* n8 K1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。
9 m0 d3 B% `8 e& H0 L6 G. j+ m3 y. \: M
# M0 p+ [- ], _- S% Q. s3 R 由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
9 U6 |# w% K, Q K$ d# i4 p+ z 推论：G1*l1=G2*l2……(4); - m1 W6 ?6 a- i
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。0 C" g' ?6 j' q- T( v
" q' l' w# \8 S9 S) S) R# D分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6);
! {5 P' B0 U9 I- O; {: q+ \' C& O M左=M右 ……(3)
: |1 L! o# S$ q2 `5 t' J 推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); % P" _8 Q- l" w8 ]; ]
联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l23 W% p: M. f$ X& `3 D
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。5 G9 N" L4 a+ c7 L( P
如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。( j, m) l1 g1 h7 Y3 e3 u
. F6 Y1 S0 [9 c" {. G5 i2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
, C5 S" L C0 }' k& x同样，按照之前的方法分析。2 T: y7 j8 d& |2 V/ g# ?
水平态：
7 A' x6 k9 k$ h( S7 g / K( ~" {0 ]$ d1 }# q; [
M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3) 6 P6 ~0 o* T! a. u2 g
推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10);
- }0 H% n7 p' A# E B 因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)5 s) A2 x. {' Z+ }+ e8 _3 J
3 l. d* H! o# r2 v% I
对于非水平态：2 k5 Z8 e! K; d [) Q
( H% ~2 C- x3 ^6 j3 i' E5 Z
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12);
# U# \+ O7 _" e* y) K) D- m M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3) & ^7 U# {( g m8 }3 _( {
联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
- R9 ~6 I2 |; e/ S6 f 结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2# ?# a; k0 U4 H; \
即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！
2 z* s0 ]# _! A& P
9 j8 E7 s7 t8 Z9 ]+ a2 A5 r以上，希望大家喜欢。
( O4 P) |+ X( x }9 V
9 E, U5 o4 n3 ]4 k. ePS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
