4 Y. i Q' i: p# S! ?
凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。
! n W/ P9 W. E% [$ D% G4 T9 G不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。8 U! x; e, O& ], V, S0 h/ o' P/ G
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
: T. | K6 @0 H# {, j! P- n+ k! M
2 Q; @# R: O" G. n2 Q5 M/ z% J 4 s* R8 j# I) L- g( w
凹面GOMBOC 平面图.
# d5 x" l8 B; r u
只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。
$ ^ P ?( E1 E6 z9 tGOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
5 Q6 B" c$ Y9 g) }
6 i2 v% i! p8 u- j# h' P; o5 ^" |$ \1 ]
平面GOMBOC3 {" o1 }# ~. N0 {1 Q& U
: ]7 s. ~9 H9 A5 | Q由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。
; t; s7 _2 T8 Z- n8 q' y
1 L8 R0 c8 @7 R8 |2 [1 b0 \. v1 r在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。
7 S+ X7 ^6 [8 U( e
3 E8 v3 t" H5 W+ h' Q7 s$ a当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明： 2 d- r$ J6 a7 o4 p9 ~
|' K$ v" n* n
. i1 i |4 e8 f0 f6 A: p+ P! J原理 1:& T7 O8 G3 W, d, p8 @; C4 Q
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。& O/ C) g9 T0 J( D- [
$ C% T7 x6 i. l: Y* `" e1 \如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 9 t; V% ^7 E! `' b4 v( P2 x
用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。 ) _5 n# g4 `$ Q7 v
+ k8 X# }9 p' b* v$ k% L
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
' O& K; m9 o: n6 b支撑面沿着直线。
) _# t* z- F$ g9 Q; Z但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
( R$ z1 ?0 P4 x( N/ F4 U- B% `5 A
/ P) _ B3 D" n1 a1 v
9 o9 X) S! J2 N# [/ H! W编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左） 2 f0 R7 ~0 [ \# h' F+ k3 U
正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
# A+ K6 M" H" X6 H7 ^' z1 k四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
7 w6 E4 V' J; D+ B4 e$ _2 T, l s2 O0 X' E# F
! ~9 J0 f: h& B/ O) y有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。
U K0 x) J, X& N8 K2 F2 E/ L0 u, B如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。
; [' k) o2 I3 l+ _4 b% m# H, V* u8 u0 S
有关GOMBOC的基本概念5 K4 A" B, b/ s9 w: D
2 d; w& h9 a' i9 B6 b$ E2 S8 I
- m! a& h9 P8 |) j% F; y
6 }. v4 j0 ^! I, D3 L; W类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)
7 L6 t. _( X( t1 j9 ?/ w a" F
" t: d4 f' r9 P/ {
. ]. A, a1 ?% D- e, Q) E) O* N1 x; F
5 Z- n# @0 h5 r8 ?三维体在球面坐标系中的定义! A1 _6 n5 Y. B3 n! |, J9 V
2 R! t6 D; Z7 |% N$ j
/ l% R: A& D8 \$ J/ }! G2 {: V7 f% L
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。0 {! Z6 E# S8 j
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况：
) r% k$ O+ q. Y6 h
! z: w1 O. o& ^. g) I. a3 m2 z- x D+ {7 D7 u+ b1 {# L b
7 X0 N' L( W$ V4 p6 {4 J) k$ K
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
; C1 v4 R: P6 e+ e. A6 b7 J2 g
7 D1 r f9 p: N
a) 和 b)很容易被驳倒2 o" L: G8 G' k' s6 f* H
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否， 7 p8 ~% k! G1 P. `) J
3 b+ ]5 F$ o' F; H% w2 Y) {: _% e8 G/ _. G
, V% @5 ^$ \2 v5 |/ ^4 ]$ `
4 u* V! Z$ E3 y& r
. f* {+ I* k3 Y0 m' ni > 1 时 u = t = 1, s = 2( b% j) m* z8 z8 }( G$ t- E
$ t/ d/ @( u0 v* p1 \. u4 P9 T8 i
. x; G5 m4 g" f8 w9 n- e, Z8 e
3 h9 |6 w) X! z! Z
# x8 Q5 |4 O! H. u0 d1 m
$ g. h7 q6 @: T! V第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？
1 e. v. t. }( ]+ a我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。* L% e! k# u' z8 C8 h- Y6 z
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
: ^9 n% i( y% E6 N+ M平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。# }( l) f: w+ z/ S6 J
如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
) o3 @ W* p1 E' X如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。( H9 F5 y/ i+ y1 J' M# D- g
物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。- }( R& h9 f; ?) @8 ^) g; H
由此得出平面理论并不适用于三维体。! _' L3 H$ q( z; U( T2 I% ]
& {- w- {7 f0 b; ~" P- p+ c ^4 v5 x1 f: R0 j% U
1 Z" U# V7 }: `; k' |1 Y; M A# E- F7 [* Q L0 O, w2 J* w
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
7 K) l- L' j% [7 c M: p5 ^- l. l6 W+ c+ c
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
- j6 D' w: K; K& }7 c运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。1 d3 \4 H" E8 H, N t8 o
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。0 U9 O- t1 ~* ~5 q- F2 B% G
构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。
1 r( R7 y6 U, c3 C% w8 W G' k' z+ ]* K/ _7 C
2 `+ ~4 a1 `5 M; V0 N
! W0 p8 G0 v% K8 [
' i3 G% _% Z4 L: V. O1 D0 B$ ~1 ~
! j' A) B( {, b- F应用于论证的双参数物体图形
4 D: d1 a. q+ `( O* @6 _+ X
% Y- N2 [. r& Z5 |“真正的"GOMBOC+ h8 A, k) I& p; M$ P
& U# P( D7 m9 r/ R2 z通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？
; v9 x1 n" _2 v4 X4 Z是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？; a2 x5 u4 z7 o' R; y- |
GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。+ ~6 t. B8 X9 k& ^* ~* [5 F5 W1 e
6 F! y7 _& h8 P0 I
/ O9 K' H, O; W
$ J; v' h* `3 T# z( L8 [
简单的图块拼接到一起构成GOMBOC
) d' j% D8 _' v2 o& T$ I0 ]% M* f. K2 k6 e$ L4 w1 m- O
! v' W7 K. i. r
) ~( ^; Z8 z8 E% z/ E
' b) y) b$ \ r: i, Y- ?5 ^9 Z在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 : \( T* B0 y% C! q3 ^. F3 R
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发表于 2010-11-15 08:49:53
