. r; V( ?$ V/ S6 v" s2 @7 }凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。' x6 K$ Z+ \4 K) ~4 l5 C4 _. y" F
不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。' x9 \5 f# ~" k4 H9 `5 P" R
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
+ v7 ?4 {3 O) x( `" }6 K4 U, \, R" B) z; m( E6 t
) l; j" A% {: }) c凹面GOMBOC 平面图.
/ m8 r! v. n( T% a) K5 E
3 P5 m) N, }* R& p; q: _. S9 U1 p只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。
2 J: K U' L3 a1 Q) yGOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。 1 E1 p0 Q1 \. o
5 A* N8 C2 z7 A) L7 I7 F$ |; c8 u8 ]) Y/ a
平面GOMBOC y1 j: ?9 e6 k }) M
' |, `' Y$ P! o# }0 p" V! {
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。
* ~2 N3 o: G6 w/ ] W. D+ u' F. z3 u; s7 }: r3 E
在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。
! I. l ~( @ l0 X! ]# D+ o* S- ~* c- s1 U1 F% {; h
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
$ ]8 {& g% A& f1 n, P% C# a
6 w9 V# o5 J! ` g2 w1 H, C+ {
, C7 D( F6 W$ d( l$ g( {1 m原理 1:
7 y. F: |: r& f D% P/ M所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。
: r3 w% V. x' Q
4 g C- U0 K6 @5 l- _- q$ z* i" D4 v; F如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。
- f7 S4 ?% k9 K) U) b" E8 p0 F( w用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。 % ~" V2 k0 J9 { n
+ A, e5 ]. c8 ~; N1 V+ p相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
6 P4 a4 S- x D) T$ Q5 E: ?* c支撑面沿着直线。
. f. c7 b E4 A7 f4 H$ \3 B但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。 5 J0 j( _( P9 i3 z# e
5 ?1 N. M: v3 U* R- ]' q! \( a( L* H5 k ^/ r* N+ B
% P4 w6 r1 m( f编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左）
3 Y( d n8 x: @: X正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
3 L9 N- Z: k2 E/ x; a" ~$ p四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值 9 g# ~. f1 C. u- _! f; O" B
8 S, r! d# N0 \% e( O# T" f
( w8 S6 d( B) o1 Y1 V
有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。. U" v2 K' Y% S" `
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。5 j7 B3 x; W2 T9 A
' b% {- y" p& q7 Z* q4 B有关GOMBOC的基本概念! w2 x5 m9 @5 f' W$ k
; F0 [* H y c3 l( i
$ x3 w! u1 l& n( X2 ^( M1 L2 A) w6 ]7 P2 S$ D4 r2 H# Z
类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)" v) Z! R! x4 B4 P7 {
; y ?0 g6 ^' j* |# y
A7 j/ S3 K8 Y% C+ y6 C2 n% \9 c; Y" A7 m) j. Z4 d/ t; X
三维体在球面坐标系中的定义( t9 A) l" z% @7 v
; L- @2 z2 l+ Z/ m7 _# i# n( b8 S
- p4 f a9 x2 [/ x3 n0 r, P
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。5 N: H3 l' x+ l+ \
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况：
: ~* |; g' q7 \. s* e* ^, i) o% S! ^: I$ a( w! h; e3 O
; v; Z1 d" z+ y8 Q: m# f/ L( J, f2 p+ S
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
3 ^4 D3 k# k$ [" m' f& d
' e5 E* R* @/ P& Oa) 和 b)很容易被驳倒, T' N V; e( s* C% F' p
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
2 ]; a3 H6 U6 J' V2 X" s+ T* ]9 t) s* M
$ ~; t3 j5 F. ~; Z
, }: A8 W+ K( W* A6 i
8 Y2 L) q0 i6 Z4 {! w5 b
1 G# W0 _$ J( b9 C2 { V3 T( ^i > 1 时 u = t = 1, s = 2& x& e" m k+ v; K
3 e& r+ E7 h* C* s: l$ O" @
- T: F$ C) W0 {" [
0 T. f3 z+ k$ Y
7 s: H6 X' c; m4 H: M7 s- R* i. ?9 d$ i5 r
第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？
2 A$ _8 B, L: t: j8 p; u我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。! h( A9 Z$ {# o
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
& @7 V i! S1 X# O7 W! Z平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
5 j2 ^) x! R$ A7 w/ h5 I S如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。' `$ g& e$ i+ ~ y5 Z. c: g* s
如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
5 b5 |+ T7 Y5 N% h# D! r% @0 s物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。& `+ Z. z: q- o6 v$ B
由此得出平面理论并不适用于三维体。
! s G' C/ H: p7 i* P6 Z# m" p, A4 i; z) d( `
; f7 m1 m! c& b+ P z
/ b4 s3 t h% w9 E5 D$ e
2 K2 ]" c& P' P3 j1 R- I7 b
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
, N" }+ W6 r: ]( r. B% Q8 ?2 L$ ~+ U0 `, X p
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
6 p, ^. L$ d# a2 \; N/ J运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。
/ c9 Q& {1 U! b7 x/ t5 `受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。! P4 C* D9 ^7 X6 J
构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。
7 w& c' @- l5 \9 d3 n/ M+ Y0 _+ A+ v" P8 c9 p- {) `
" v! m" G% l6 x1 I7 _8 Z
, s4 o* t4 X S) y2 m, u; d2 Z9 w+ e8 U4 r$ L
& E" ?; F% i) H" N2 n
应用于论证的双参数物体图形
" A. b! v' M5 F" E: C+ a% p- h( T# E
“真正的"GOMBOC6 n% o1 E# A- g
: x7 O2 m+ b! U2 @
通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？
2 Z% C7 Q; D# [( F: E是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
$ ]; F/ B0 s) Q, @7 u' H7 X7 dGOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
1 \! C+ d) _$ ~* D* w, K1 G# P7 @7 J) p, P* ~/ \& t* w
/ u, i+ Q& x6 a7 v* l3 S+ ^
5 V. ?3 a; n& {+ }1 U简单的图块拼接到一起构成GOMBOC' P$ n' a6 ]: s7 Q& S
2 Z, W0 E2 S v: _, A" K$ G) Z& v/ G3 G
. K, b) Z7 @. p4 H/ I+ ^- V: K! y' I: K; M$ I
) `. f# Q8 ~) S8 ]8 e# k4 C p' q在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 , M9 k3 Y5 G4 T( W9 ^! N
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发表于 2010-11-15 08:49:53
