# q* u, S7 |* F8 y A凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。5 a- z, V% Z+ q/ p; u8 A* Q; [
不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。2 P" q+ m) D1 Z- a1 ]8 _
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体6 H6 y% ?. H8 v7 P% m, c9 w
% l+ a+ F3 e; v+ G # i$ G: C8 C+ ?' }3 S: v' U5 f; H
凹面GOMBOC 平面图.
4 j. {8 c" Z+ ^. Z( I( c# e
5 U$ _3 l: o3 u0 J' H3 F只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。5 V7 X9 P/ x7 M, q% z
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
, J% ~" D( ~8 i: D" N" Q( V' b+ j
, s% |' n, q% _7 c! A
3 {/ d( |9 I( U ]4 Q平面GOMBOC
" G, `: m% B9 f9 {
( W. p( _ _6 u2 P由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。
. J' H# ?9 L3 ~! y0 _
* E- n8 j0 P" ?, r4 c5 F在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 " L! O$ c9 O# E4 W0 ?! O9 Q
5 K" E' f3 r! t$ p3 T4 k" I当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
a5 A7 d% Q0 i5 }' ?2 V' N$ Z, u* a5 ]( s% R' M5 V
; c% k+ H; l, ]9 G6 z& @/ x
原理 1:- ^* E5 S# r3 w3 w
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。$ n6 D& q' L T0 E: p: |
7 o" Q1 j, @ v* t+ b; f
如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。
; o$ j/ k" ]% O& ]3 D7 c用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。 # Z% g- T9 o, R- b
# g5 l& t' n* y; i7 Z: Y9 Y6 [+ I( {8 R
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
( W T' f. X" v$ s, r# W4 n/ T支撑面沿着直线。
% D3 p! h$ ~2 H' L$ k V但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
/ T E S- K3 L3 Q* j
; e! I N" l. n% A( S, u$ m [; B( v/ m2 |4 }6 d% t7 d! c
9 |1 A6 A" C" v K) L4 D3 B
编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左） ; r7 b. R- B3 `# k
正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟： % c" J! J2 E! Y' I
四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
8 |3 W6 s3 w) \5 M0 o
, f. {4 u) N( W- {0 @; J3 O; d& O9 W* [2 {
有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。: s4 g9 I+ o( X; G6 O+ d8 N5 @
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。
1 J1 s7 q! Z3 ~; }2 M$ L+ e9 J0 s, b) ^3 a) w4 m+ ^& `
有关GOMBOC的基本概念* u/ v8 G7 z: I
& W2 m& }1 _4 S3 S
8 V& v, d# ?$ \9 u: n
3 q% U: ?0 e5 w, o类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)3 c$ c+ V1 F/ Y4 }5 a( M
/ @: ]! q* N0 I, ]
% L4 t- [2 m% U5 }2 t
! A7 ~% U/ \/ Q% E
三维体在球面坐标系中的定义
( y+ u6 t2 V( v1 w: g4 D
B: J3 q! c0 n1 ] 8 n$ G8 @" \4 }2 C7 f: {+ I9 w5 R: s5 V
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。8 z7 }# a( m$ a# ?3 S8 ~" o
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： 3 K: H. i$ p) T0 Q* V4 `
1 Z9 S+ }: w+ Z, R. p7 t |; b
7 A" ~* m8 ^9 P6 R$ }$ v, r/ K5 J" @2 o2 ~
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,2 I1 k# \: }) P- z
, l5 p3 M( i* _% La) 和 b)很容易被驳倒/ | e) F2 G+ r8 s7 ] |7 E; A( Z2 ]
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
N" {6 _% _9 K; j: m! a
3 u" T1 z( W$ r0 E8 I) A
8 |! ]3 O5 j$ T. z- d5 A, B( E& L+ d' e
" e3 V9 y) {7 I, g/ @( x: C0 V3 i
5 {8 R6 H) r+ @i > 1 时 u = t = 1, s = 2
1 N6 D- D- a( r o0 H: [& b2 h: ]5 t& L. ?$ }1 i
" Y( L/ b( Q0 b. P! q
4 d1 ]9 ?8 n, S, H6 n" ?; z" I" C9 u! x7 _
- ~( Y& J" K8 n0 |* J第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？0 e# O; e5 e1 j
我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。7 C& B' Z. Y6 S2 ^
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。) u' Y7 ~$ e+ G- U: H3 M
平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。1 h5 J! L2 v4 d4 n$ v' o: o, k, h
如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
e, d2 ^/ U5 A如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
" Y! \5 x h; H2 [4 C- M+ f物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。9 i( M2 M' T$ G( l6 O" { b' w
由此得出平面理论并不适用于三维体。4 f3 E4 u6 U% x3 s4 q# c
! x2 l8 f9 g1 |) Q( q
, j2 P3 l- W" S, c2 q* y4 Q& V+ G! V% p, E5 m& {, s+ R
& ]) ~$ }2 e, J. y4 X; t分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
/ \7 f- u0 } h _, H
2 L1 W$ g8 G+ M% I论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
5 F3 D1 v y4 w; y3 R运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。
' ]; b. Q; ]+ A2 r受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
9 R+ l4 V& }: O, C# |构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。/ V/ T4 x r' e
4 w- i& y. Q+ i
, X* K/ S. X% c2 ~, J* M
8 V( n5 C' X) g9 K: c* E- R0 B/ r3 r1 D& F% |* H. g
9 r) ?3 \- @1 J' x# Y. b
应用于论证的双参数物体图形 3 H; w2 h1 x9 `' G/ O
" E( q( ]7 p/ q“真正的"GOMBOC* b& ~4 o4 q. D4 m( G o
4 L6 o* m( r) }通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？4 H/ K6 s, Q3 e& ^
是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
9 m! B1 C e# F2 ]" u: Z. o; }GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
9 c: a O, M8 O9 b! a' l* V" J& w
8 K2 [ c- C* C3 x. ^9 `
6 U9 J* O( @9 V" c/ p5 j
+ O: m5 z O* c; ]简单的图块拼接到一起构成GOMBOC
* w U+ t9 W* U
9 {! m8 l8 R5 C) r
2 C9 J5 c" m3 {& x, a9 a. w% @0 V- E% S0 G K
, L: {( L6 e& H- h9 a4 O" N& q
在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 ; h% x9 J1 d A$ B+ V# |
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发表于 2010-11-15 08:49:53
