+ Z# B. p" X( l# h凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。: t3 c+ B- |9 s5 v( W
不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。
- H) I* D: H* X8 i3 B" N同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
4 ]5 O# H( v" P4 K1 |3 u
1 W) ?0 H3 J4 \6 `' O' k( F" _
8 G( W% t8 X+ S) Z凹面GOMBOC 平面图.
* ^4 C4 u2 z! Z5 V
) _8 w" Q& `) R0 p- @# ]0 `只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。" U5 t4 f! @/ X- V/ ?) d
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。 ^4 m( b0 y4 e1 Q( A
8 v" k1 n& O9 \/ h& Q3 W- N0 {: \
' A" E7 a8 G1 ?2 c4 s3 x平面GOMBOC
+ V0 {) Y5 A/ ^3 D( H4 T# l
8 f; F* G2 I3 W9 z1 u2 |由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 ) k6 g5 c2 F. J. y% d0 p; k- s9 m
& e+ V( Z# a/ P i' ?4 ]8 ^& Y) }在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。
: H7 V6 E& k" x! ^2 J3 P0 w9 `! D T, M0 _1 j; V) _6 |
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
) b, w6 ~( u# K" g! n: y. E8 r1 X9 k' u, X. y: g% G) g
- h5 S. ~4 F/ ?+ y" n1 E
原理 1:6 s7 E' z5 ~3 k+ v7 @
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。4 k9 G* k6 g, J' ?
/ g) _) h5 |& Z- n" T
如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。
7 C( k/ U3 {& f: ]7 f' C用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。 9 @2 [9 P0 O3 {' C+ j0 l+ `
* [( V! c" n: ?# U6 ]1 z相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
5 k; A1 [. W- C2 u: L Q支撑面沿着直线。
$ b K0 u- T0 o' e6 ?但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
& N. z5 M, ^6 W; L! x, n2 t# O
! u4 X6 d5 S: J. l3 {% |4 w/ f/ x
编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左） ) h0 n5 x; z( @8 I# A$ F
正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
; E9 }0 t6 w) k/ {四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
/ d3 ~5 R' T5 f* N2 h/ ?; y- P7 _9 ]. |: l ^* ~* W
2 f4 \' d, k3 Q, h( C
有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。
/ K4 r$ ?5 t+ M* }' J8 {& h如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。
7 J1 E& C& |! b% h1 U6 E, b, m) t& S
有关GOMBOC的基本概念
D. V( t, B& X2 Z4 u- G. P1 v
, V3 y% a" l: W; s/ c. |1 \$ h4 i1 C7 F8 k* ^! N' P
. [6 w9 k1 N Q4 ?' Q
类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)
- I9 w4 O/ u- \6 p) g, U2 L" D5 U4 d2 H
% @; U& e! M2 W: {" t' e* K
; T# Y' L" a# s' B" C% q3 s三维体在球面坐标系中的定义
2 N4 c' g- _; E$ W5 A# `9 x9 R# V5 T$ }9 e% u8 J7 Q) N0 x3 Z( Z
/ s7 m: B$ j3 q1 o8 R$ u0 b J区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。: t; d5 ^7 M" u) Q9 _
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： 7 e! Z7 F5 Y0 |2 s! X' g; y8 ?
5 f+ R' h+ z) S1 d4 a+ U
) h' E2 o2 L+ t9 @* T, V% r
: p: M4 r4 J; @" _; W7 B
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
# v/ N* z0 i! j/ ^+ q) X0 n . `6 R4 y- B+ r8 f! L( t
a) 和 b)很容易被驳倒
/ n+ l8 B4 [' f+ k3 [' [* Y' X$ Cs = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
5 c7 A' W v$ v7 [' s9 R: [4 j) y$ y
, I5 ]6 b. @2 t1 b9 B p
$ ]6 t5 M9 Z9 W3 }/ r
8 o+ b% Z$ e/ f) l1 R8 V: ?+ V/ d' j7 _2 u8 l+ X5 L" H
i > 1 时 u = t = 1, s = 2
6 y5 J, j# v# S% p" U
9 I- m3 I @! c% V: V. J5 A) D7 j3 Q1 M/ ^
* R- G. U/ C8 F. m5 e; X
f4 e S9 K* W+ ?
1 L* k: a: _# k第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？
2 k y! S( z! ?+ ~! Y* M我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。
0 g: |) `/ }* ~& g8 n$ A* J假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。$ ?- d$ w0 u7 ^+ a
平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。. B1 ~& z+ F1 u6 [- j5 B4 I
如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。" [6 r' n, F2 l6 D1 k0 `
如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。- D: X/ E n3 M* M9 A" P
物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。
' {. O' D e5 k. L; Q* }0 M由此得出平面理论并不适用于三维体。
) D* l) y2 v: r6 ]% f
7 y' M9 S2 u) E5 X
; s) Q9 O) J$ z) `* [$ y) S7 t! i1 T: v# O9 \# @8 b
! W2 Z& A* [' M3 g8 f
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
( W" c+ ]- I* t* r. P8 u5 |9 r# ~- \ Z7 w& q# \7 y9 S/ q- y
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
* j# p# J0 V" o# U7 c2 r运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。8 L5 W8 _, z; Y, M" K
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
1 B4 \ Z: v5 u. R构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。/ |1 d9 V O: Y2 c& s7 j+ | n4 A7 z
8 ]! G4 W8 ?( A
8 v% R: z( a, e& ^0 y1 _+ R: @, `
7 i. b6 g+ j% |+ h1 J& E( h) N( |2 A$ Z/ u
+ j. o4 U" R0 Q# k3 U$ C5 n
应用于论证的双参数物体图形 - X- b8 ?- m6 b: `
0 }. z6 {8 `* b
“真正的"GOMBOC
% O4 Y0 [5 Z7 a) i; o; ]0 [3 R3 L
通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？, d) ~" c5 T ]9 F
是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
( A1 v) b, G! w) q6 H5 kGOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
4 Y0 P# l }1 R/ Y- c2 j
$ o' R: b* Z* d% ~4 H, I+ r
7 x5 I( P; e6 [0 O! T# }0 j; g0 q
简单的图块拼接到一起构成GOMBOC; d9 Z2 p! j4 f+ | N' a$ K
& }" N* a. r" C, j( V m
) c9 j: ?: s5 a5 Q! @
1 i& J: X, T( E* {) b/ ^# a; E, d
1 f- |' `. l# b5 _$ D
在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 8 n8 s1 _7 A; [; e. y* P
|
发表于 2010-11-15 08:49:53
