V( ~; ]. ~& g. d1 U+ [4 _9 Z
凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。
' [2 O( H* M0 U1 r不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。7 y7 s' r, ^$ _% g
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
9 |3 ]/ g- f) B( Y) y* r5 f2 S3 `0 C) Y) q
; f0 Z- e& y! @' @" @凹面GOMBOC 平面图.
- d. U- ]+ q/ I2 {; ?2 @3 \) }2 ]* Y
只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。 ~' x8 \. B: L/ F% ~7 `1 F) H
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
" W" p: g R- F, G4 c8 k+ D& e: {% W* ~5 K' {
$ _9 N. h7 y. H( t
平面GOMBOC
" p E6 D `0 r$ [# z. x- L8 D) ?" g% s! @- C
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 + O4 l) |5 F9 {; X
; E5 x' u8 V) n2 D. p$ ?在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 + F+ l& h1 n+ n1 F: ~) [" G/ t" }
( Q. ` m; ^! u# ?
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明： / r- h! [% ]. F3 u1 R/ S* Q
/ i3 x, x& y, P3 }7 Z; _1 L
5 v0 H, f, L4 t$ d6 F/ ~8 u/ k2 F0 {原理 1:9 f, _3 b$ t \! ?2 U4 `- M
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。* R n/ X7 B+ t: `
! e6 L% Z! E% F/ ~2 \如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 / i7 X% f. ~9 r$ L9 y; M Y. N
用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。 - ]; k2 H6 A1 V
9 N: i, [6 @' K
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，8 S1 `" I+ H7 ^1 x$ _7 l" [
支撑面沿着直线。, H, E- Q9 a; M: o7 n# F, L
但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
- j/ c) L3 m4 ~' V, ]& q3 h
5 d8 E) A) M' G6 _: r- s9 ~: R2 C( v1 o
: h" a5 G( q2 c( m% o编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左）
7 N* I" D- f" M$ P+ m正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟： 8 c7 {& Z. |% |+ |
四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值 0 M# |# _6 P+ Z. k2 \" n
4 V9 x) g: Q) ?* i5 p D1 s
}/ R% }' }" y- y/ g# T
有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。9 F- H* c' d$ n* Q( A$ E
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。$ S0 r; k5 N5 v# Q
# X- J& a# Y1 X8 T
有关GOMBOC的基本概念
' K9 O5 y/ X! j' ^9 F9 p# D; e( V' q* C
# U# Z9 K6 V2 q. x& t4 p9 J V" x" Z
类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)/ o3 G% `9 a# l; p; j
, V' @/ m( \0 U2 k2 r7 y
/ r4 h$ `0 g0 F- e( J/ ?: W: V' b$ h! a6 h- S, X; N4 P/ f9 k
三维体在球面坐标系中的定义+ j6 `+ V' G( H; M5 O* i8 W( `) S' h
( F: Q2 J* |4 H* ^! U* _0 c
! b$ z n; v6 i# j# h2 f区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。
2 _' x* i7 J1 X0 k u1 m8 L# k# t根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： ' @: H2 @; `! Q% L! w
+ y" F: a2 t6 G$ v
0 x D7 S/ r+ r4 ^+ V
1 H7 q1 v' M' k( w- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,, H# Q) z) ?( }2 j7 H- O5 z% w/ T
' w! @2 a: R/ j- [% ba) 和 b)很容易被驳倒
& C, A5 }" B2 X0 j6 E5 m0 p, Xs = t = 1, u = 2时，s > 1为否， $ ` [8 p; a9 C
" H( N- U% M8 \7 m: p5 G" o4 q: V( I4 z
# l9 ^3 }" A# A& X7 k
/ Y6 @0 z3 m. S, ~/ A0 }9 F4 d+ G c" s6 v+ W* y) `
i > 1 时 u = t = 1, s = 29 K: J j5 U) r: h
1 e5 k; Q. ?8 j! M7 w6 [' B+ ]4 i
# f% k5 E. B! R. ~7 j9 w9 e. I7 {- T& J, P) r9 a! U
9 L7 a$ Z/ Y; u/ _4 _* c' {
第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？9 W, T5 [1 s9 W ?6 w3 Y7 [( \$ h
我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。
8 P$ F8 |0 q5 c* Z假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
9 R" q* H1 S3 E6 J平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
3 _4 _) E; u6 ?* m# j如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
0 H" O, ]* C8 e& R# Y4 G如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。0 _, l( Q7 q3 P( J9 r
物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。
2 v. ]$ ~8 ^: O; o7 x8 F7 L由此得出平面理论并不适用于三维体。" t$ |5 v! [2 W) @0 U
0 k1 M, X3 z" |2 J7 }# R- {: [/ W% z
: z% o% m9 N; i+ K* W% H1 y. S9 [' d
4 W- b ]- p; m5 \分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。 1 r, V! P! a/ m- O* }' f) e
" ^1 \. K' z/ x" k* w, e
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。2 h# y+ T" E4 Y, I6 R6 y0 k r
运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。' L- R0 q O1 o% f$ ]
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
4 n) U0 U( m+ @, D构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。
: w8 z7 n% P: G
3 Z; M& w7 g5 D1 Q! {
2 m+ {9 h+ Y8 x9 D3 d3 {
) @) K9 T' ]9 k6 e% G0 u. v/ h2 v- b1 V, t! Y# O
, K. h; Y3 o4 v3 ~) N+ u" Q
应用于论证的双参数物体图形
# a. U* A& n; y1 m1 H
, a3 i9 T1 @6 F- |“真正的"GOMBOC
* W9 [6 S' F+ f1 r& A2 Q4 s
9 c$ w, ^0 Q8 K/ \# \8 W* i7 o通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？
. [" C) j6 Y0 G" i$ p0 F1 t6 g是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
+ a) y% h, _2 s) k( gGOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
1 e: E* i( o& d7 U* {! c) v/ q. r5 t, ?
2 v& D' v2 f6 e7 Z. O) i
( Y8 \ c R5 z4 u. t. [5 f简单的图块拼接到一起构成GOMBOC
* q- |6 C- F& d K' p+ \' z/ ] R \$ o- S' ~7 R% u6 B* o3 C5 k
; ~' ]6 a) ]9 \4 I8 A
, @( ^. S+ T) G4 `) B& o* ?# O8 w1 c$ r, p0 g3 P- j
在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 + `) E$ M8 `7 O y' J
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发表于 2010-11-15 08:49:53
