: u2 c' e4 x$ C凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。
$ c" T" P& C5 N. D$ X不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。
6 ~& o* [- M. D同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
0 L2 @- |! A# u5 L+ \
' E) e }3 h1 ^7 R 2 g' j6 N* d7 N7 W
凹面GOMBOC 平面图.
; s$ i5 e7 d, P* f5 `' q2 P- {: K. Q
只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。9 ~, `+ {4 |& f6 C
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
% i I: `7 [+ L6 r+ v6 n c c2 Q3 n* H5 o) a) P5 E( m3 w& J; ]
* S- `9 P1 Z( [. L* t5 L2 K+ \
平面GOMBOC
7 o, i% l$ k* a. s+ U G" }$ `% K+ \
2 n7 ^9 ~" B* G由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 7 z2 z2 a( t9 C5 U
+ V# t) J) t0 o" ^在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 / O( o6 a( v" V; ~& m) M% ^' n
& R! d5 G3 x9 n2 E& a9 G9 j当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
5 Q2 z- |. X% u1 b9 Q
5 s4 I- C- U! F. R
5 G8 u- f3 _% u: X, A原理 1:
2 m1 S7 m' X, z ]* r所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。
' M+ p1 W" e2 o& B: B
. H- d/ a$ F& A8 i4 G1 _如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 . N3 E$ b' W0 [: p8 h W# [8 H. ]
用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
5 q$ @0 E2 O7 C5 x2 C" M/ M! I1 {
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分， q/ W3 ?* a/ R! F3 t/ X
支撑面沿着直线。' W W# [1 w7 Z. w' B r$ f
但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
1 A, p0 O+ j; A {9 I+ ?! E d2 C
$ [+ z4 T0 ]& B x. P
. P$ I: ]* ^# \# e编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左）
* Q" o- `6 @6 |/ F% {2 t5 b" i" _正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟： 9 {6 K0 R) C# P) A, X+ l( H! ]
四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
z% F/ j) x' m% [) A( K$ N6 n
& d2 I4 e5 |2 M0 \1 U
8 P4 t# c8 A' b有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。: ?* k0 [+ ]* J, m0 B h( d1 q2 O
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。, o. D( p: t# O: N2 f
; [, b8 T5 A/ _) Z* A3 R
有关GOMBOC的基本概念5 Z; D, y, O( {
# g4 _3 n, v1 o T# W' K
/ S: y3 Z9 p* Z6 o* i
' ~" q5 K6 Y8 j( F4 R9 Z: }类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)& o% T6 a" r- _+ K y' \! U
. g+ i. K& e$ \' N
! G! j9 K" K5 K7 V, h& a5 S2 ]9 @$ F* |* _! S5 x
三维体在球面坐标系中的定义9 |; n: R5 M8 j& Q. K [
3 G5 z b6 A$ c" y$ f h) O3 n
! B* z& d5 p# ?5 V
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。* { a ?" G, R2 P& x+ n$ S$ G' d
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： # X+ X2 i+ s& B7 b
7 S$ q2 f) j1 f4 b8 f9 K7 @" d% ?$ h# y/ p, |
/ n0 _2 }+ a( @' V- O- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
1 X* _, ^0 Z! L) N
2 X* [5 v) ], ^9 _' `# I) T
a) 和 b)很容易被驳倒+ y. w9 s H( Q2 K2 V& W
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否， : g$ F- e: f0 H2 k5 C0 F
4 {2 I9 {. u2 c- K" P$ C/ C
" L7 S6 E9 Z+ A/ F5 x$ f Y! b+ l- u
+ Q! i0 t/ m) Z: C' i7 A3 W8 H& e
i > 1 时 u = t = 1, s = 2' c0 e0 v! h( b+ F9 E- M) [2 D
' n7 k# o8 J0 Z
$ d& K1 B$ W* B0 m# N* n5 f5 X# X# _* j/ J
# R9 N* ]/ x; I5 R' q
& z S, P- W4 U4 R+ d+ E7 ~5 A( {第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？
) @9 O6 g. K) k. a6 \' [; x我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。6 Q- n1 l& N6 d
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
. r' x* W7 t0 X+ m+ I1 ~ ~平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
4 a9 Q% W0 @: S/ Y7 |! b如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。# P* n" j$ o0 `( `( a% I# g4 e
如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
, G v$ u) l5 M! A物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。& V- a6 V0 z; e, m6 P9 `; Q: n
由此得出平面理论并不适用于三维体。5 j7 D$ A) |7 n3 P9 Z. \, c" A# F. E- D
7 m4 X% w0 f% _/ s S# w/ s4 l/ ]4 e5 x5 ?) O" X6 X& C
2 T! C, P. o& V, z
- F* A- g) E" l" Z* F% E分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。 % G; ]% p9 g, u( [- p( ?
, h* c3 ^1 B+ o% W J
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。, I; o" F+ U0 W' A! [
运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。
2 B6 q9 @( X, x, a$ P8 S8 y. X受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
* P: p" ?7 u0 F构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。
7 R, G/ b8 y N1 Q1 |
! C& W+ Y) d8 \$ B5 X: Q. [/ v
- U8 V+ ]% ]% O9 E% d! Y
# C% ]. x0 f4 D( I% j
f$ L: a& o! q0 J3 i
0 B0 C5 a* S( g$ d5 y. G/ L应用于论证的双参数物体图形
, E' z" H$ i" J+ y& R3 _7 ?# U
5 L- ^1 X8 }8 T' f: w0 c
“真正的"GOMBOC
; l, u+ k; r( P3 a/ ~' p0 Y
" A8 o; @& b" W' t' i通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？; s4 R. n* v# D( J% `
是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？ J6 B' S9 l0 _" _; k# `/ z: d1 b
GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
+ A# c# U, w/ q: ?' F' k
' r" s& F; M7 E- J
1 N) h8 _; P; z1 _6 B' G4 Q* b
* S6 U; A1 ^) D% O简单的图块拼接到一起构成GOMBOC3 P3 g" ?. U% V
, J7 j$ o0 c0 v. V( o% B
7 L1 c3 V( Z: T1 s4 N8 k
* Z3 W4 r( |+ @8 k
- r' @, j6 p* j. s8 }7 l在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状
( `% C6 y! u3 m7 t! {7 f2 T" ~ |
发表于 2010-11-15 08:49:53
