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我研究数学分析(微积分)以来,有那么一点心得,一直想写出来,帮助初学者,以跨过那些难懂的书籍,以掌握微积分,以产生生产力。
@9 P) O5 l- @; x& c B; z) F9 H7 F0 a& ^& R
让我们把概念抛弃,先把玩法弄会,把玩法弄熟,最后再学习基本理论。- g: w2 _- g7 h% e
本方法能从代数式一步过渡到微分式,只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。/ `% u- B; @/ a f7 W
* s3 i5 z3 k1 ~5 \1 s5 s+ w
先从最简单的一元一次方程式开始。
4 Z9 w( u: Q. C+ B! Dy = 2x (1)
( [/ N( b8 n- G: ]/ [我们将 y 替换成 y+dy , 将 x 替换成 x+dx,于是上式变换成:
; A9 Z. d) R5 g, K- M(y+dy) = 2(x+dx) (2)
& T, e0 H& a8 u2 t& Q: z# e- @(2)-(1)得:
$ B8 ~. x( K/ E+ D* q/ M& mdy = 2dx (3)- C( J9 g" q; L2 n: p2 _
上面这个(3)式就是(1)式的微分式。快吧?将dx从右边挪到左边就变成:/ c6 D& W( M# {
dy/dx = 2 = y' (4)6 U' y; }5 I, a7 s
上面的(4)式就是(1)式的导数式,导数就是这么求来的。5 E& F4 i+ ~. ]8 T$ F
/ V6 s- [: }; r# a2 k8 l+ l下面再来看一元二次方程:& O( M8 K4 q( B' c G
y=x^2 (5); @7 n8 ]$ l; d: g x" W9 H
做替换,y→y+dy,x→x+dx,得:: M7 l1 v7 U' V
(y+dy) = (x+dx)^2 / S( _; T- r% z7 H
展开得:
3 r+ p) w8 ^5 ~( \9 {, N) o(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2 (6)
, i4 {2 D ^% e(6)-(5)得:+ h+ o0 u# q4 g
dy = 2x*dx + dx^2 (7)
6 o- c, @$ v8 S这里介绍一个关键,微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”,而dx^2属于二阶“无穷小”,二者相加,高阶者略去,所以:
% l& R9 B% s' a9 i8 Q) o% wdy = 2x*dx (8)6 i/ K4 ?# R8 m( m! N9 R5 t& d
dy/dx = 2x = y' (9)
) U* I e$ @2 Q; a# ]3 N上面的第(9)式就是(5)式的导数式。
# h9 j/ |2 ?& Q; F4 B0 I
+ V& J. V' ^ ]" w1 N, T下面看二元一次方程:9 C3 ~' e% `1 j% J2 W2 i
z = xy (10)5 y1 P! N" W6 L+ y
做替换z→z+dz,y→y+dy,x→x+dx得:9 \7 ^6 g( Z7 T, C
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)(11)- _: y v8 a$ h0 @( P. }7 H) z
展开得:
6 y. I* q4 J7 ~0 L u9 O2 Uz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy (12)' B( r) ^( ~$ \. o
(12)-(10)得:
$ C0 { `# e0 a' sdz = xdy + ydx + dxdy(13)2 h2 s7 n3 Q6 e+ y. u2 J
看上式,又出现了高阶“无穷小”,可以略去,所以:3 d# z9 q% D1 S; [! Q8 Q3 S
dz = xdy + ydx (14)
3 f$ q2 u$ A) b! _上式即为(10)式的微分式。
4 E: v" v% W% Z3 P& i4 R
# Y0 v# n" K5 I( _最后再举一个例子,关于流体的连续性有一个式子:
; P; F$ J) x' G( `ρvA = C(常数)( x1 E7 X' Q( q6 J
书上说先两边取对数,然后再两边微分,得:3 i# k) ]3 N! f. C
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 00 ?) U$ @6 ]% g
用我的方法,不用无中生有去微分,一样得出这个式子,先做替换得:2 y$ w; m+ N, ^5 d. B9 ]3 u) |: D
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
/ A3 L3 E' h* I" ~# f0 s3 Y展开得:
0 g3 O# t% X. Z4 OρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
1 t- G$ }3 j2 l2 A减去第一个式子,再略去二阶及三阶无穷小,得:
/ V- w6 `- t& E" R8 B& j9 I$ qρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
4 p( S" ^ c1 ~4 Y! L( o两边同除以ρvA,就跟上面一样了。
9 }8 O/ K& t8 z# h6 n" L- I! Y& V5 V4 T; V
总结一下,第一步替换,第二步相减,第三步“略去高阶无穷小”,成功!
; z. _: J- D* d0 H任何方程式都可以这么干,不涉及极限和无穷等概念,轻松学会微分变换。
6 ~- y( l2 m0 X$ I+ G: v( o# p1 y |
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